Inference using normal and t-distributions · 使用正态分布和 t 分布的推断
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | 样本 | yàng běn |
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 分布 | fēn bù |
| variance/ˈveərɪəns/ | 方差 | fāng chà |
| tail/teɪl/ | 尾部 | wěi bù |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | 置信区间 | zhì xìn qū jiān |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | 自由度 | zì yóu dù |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | 标准误 | biāo zhǔn wù |
| paired/peəd/ | 配对 | pèi duì |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | 合并估计 | hé bìng gū jì |
Small samples 样本, honest uncertainty
- With a huge sample you can use the normal distribution 分布. But with only, say, 8 measurements and an unknown spread, the normal is too confident.
- William Gosset, brewing at Guinness, invented the $t$-distribution to handle exactly this — small samples with unknown variance 方差.
小样本,诚实的不确定性
- 有一个巨大的样本你可以用正态分布。但只有,比如说,8 个测量值且未知的离散程度,正态分布太自信了。
- 在健力士酿酒的 William Gosset 发明了 $t$ 分布(t-distribution)来恰好处理这个——方差未知的小样本。
When to use the t-distribution
- Use the $t$-distribution when the sample is small and the population variance is unknown (you estimate it with the sample's $s$).
- It is bell-shaped like the normal but with heavier tails 尾部 — wider, to admit the extra uncertainty.
The t-distribution is bell-shaped like the normal but with heavier tails; as the sample grows it approaches the normal.
何时使用 t 分布
- 当样本小且总体方差未知(你用样本的 $s$ 估计它)时,使用 $t$ 分布。
- 它像正态分布一样呈钟形,但有更重的尾——更宽,以容纳额外的不确定性。
t 分布像正态分布一样呈钟形,但有更重的尾;随着样本增长它趋近正态分布。
Inference & the normal curve · 推断与正态曲线
P(Z < z)
Tests and intervals read areas under the normal curve — slide z to find them. · 检验和区间读取正态曲线下面的面积——滑动 z 来找到它们。
You use the t-distribution (rather than the normal) when: · 当以下哪种情况时,你使用 t 分布(而不是正态分布):
Small n with unknown σ → estimate with s and use t. · 小 n 且未知 σ → 用 s 估计并使用 t。
The t-distribution has heavier tails than the normal distribution. · t 分布比正态分布有更重的尾。
Heavier tails reflect the extra uncertainty from estimating the variance; t → normal as n grows. · 更重的尾反映估计方差的额外不确定性;随着 n 增长 t → 正态。
Confidence interval 置信区间 for the mean
- A confidence interval for the population mean:
- $t$ comes from the $t$-tables with $n - 1$ degrees of freedom 自由度; $\dfrac{s}{\sqrt n}$ is the standard error 标准误.
均值的置信区间
- 总体均值的一个置信区间:
- $t$ 来自有 $n - 1$ 自由度(degrees of freedom)的 $t$ 表;$\dfrac{s}{\sqrt n}$ 是标准误(standard error)。
For a single sample of size n = 10, how many degrees of freedom does the t-value use? · 对一个大小 n = 10 的单一样本,t 值使用多少自由度?
Degrees of freedom = n − 1 = 9. · 自由度 = n − 1 = 9。
The quantity s/√n is called the standard . · 量 s/√n 叫做标准。
The standard error of the mean is s/√n. · 均值的标准误是 s/√n。
Worked example
- A sample of $n = 10$ has $s = 4$; for 95% with 9 degrees of freedom, $t = 2.262$.
- Margin $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 dp).
The t-distribution has a lower peak and heavier tails than the normal
例题
- 一个 $n = 10$ 的样本有 $s = 4$;对 95% 且 9 自由度,$t = 2.262$。
- 边际 $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$(2 位小数)。
t 分布比正态分布有更低的峰和更重的尾
A sample n = 10 has s = 4. With t = 2.262, what is the margin t × s/√n? (2 dp) · 一个 n = 10 的样本有 s = 4。当 t = 2.262 时,边际 t × s/√n 是多少?(2 位小数)
2.262 × 4/√10 = 2.262 × 1.265 = 2.86. · 2.262 × 4/√10 = 2.262 × 1.265 = 2.86。
Comparing two populations
- A 2-sample or paired 配对 $t$-test compares two populations.
- When the two are assumed to share a variance, combine them into a pooled estimate 合并估计 of $s^2$.
Degrees of freedom, not $n$. The $t$-value uses $n - 1$ degrees of freedom, not $n$. Reading the wrong row of the table is the most common error.
- For a small sample, base a hypothesis test on the $t$-distribution: a 2-sample t-test or a paired sample t-test.
比较两个总体
- 一个双样本或配对 $t$ 检验比较两个总体。
- 当假设两个共享一个方差时,把它们结合成 $s^2$ 的一个合并估计(pooled estimate)。
自由度,不是 $n$。 $t$ 值使用 $n - 1$ 自由度,不是 $n$。读表的错误行是最常见的错误。
- 对小样本,基于 $t$ 分布做假设检验(hypothesis test):双样本 t 检验(2-sample t-test)或配对样本 t 检验(paired sample t-test)。
You've got it
- small sample + unknown variance → use the $t$-distribution ($n-1$ degrees of freedom)
- CI for the mean: $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, with standard error $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- compare two populations with a 2-sample or paired $t$-test (pool the variance when shared)
你掌握了
- 小样本 + 未知方差 → 使用 $t$ 分布($n-1$ 自由度)
- 均值的置信区间:$\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$,标准误 $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- 用一个双样本或配对 $t$ 检验比较两个总体(共享时合并方差)