Linear motion under a variable force · 变力下的直线运动
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| drag/dræɡ/ | 阻力 | zǔ lì |
| position/pəˈzɪʃn/ | 位置 | wèi zhì |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 链式法则 | liàn shì fǎ zé |
| separable/ˈsepərəbl/ | 可分离 | kě fēn lí |
| separate/ˈseprət/ | 分离 | fēn lí |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | 积分 | jī fēn |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | 边界条件 | biān jiè tiáo jiàn |
When the force keeps changing
- Gravity near Earth is roughly constant — but the pull of a planet, the drag 阻力 on a car, or a magnetic force all change with position 位置.
- A force that depends on where you are needs a cleverer form of Newton's law.
当力不停地改变
- 地球附近的重力大致恒定——但一颗行星的引力、一辆车上的阻力,或一个磁力都随位置改变。
- 一个取决于你在哪里的力需要一个更巧妙的牛顿定律形式。
Acceleration as a function of position
- When the force (and so the acceleration) depends on position $x$, rewrite acceleration as:
- This comes from the chain rule 链式法则: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
When force varies with position, the work done is the area under the F–x graph
加速度作为位置的函数
- 当力(以及加速度)取决于位置 $x$ 时,把加速度重写为:
- 这来自链式法则:$\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$。
当力随位置变化时,做的功是 F–x 图下的面积
Work from a variable force · 变力做的功
W = ∫ F dx
When the force changes, the work done is the area · 面积 under the force–distance graph. · 当力改变时,做的功是力–距离图下面的面积。
When a force depends on position x, acceleration is best written as: · 当一个力取决于位置 x 时,加速度最好写为:
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — convenient when force depends on x. · a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx——当力取决于 x 时方便。
The identity a = v dv/dx comes from the ______ rule. · 恒等式 a = v dv/dx 来自______法则。
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx by the chain rule. · 根据链式法则 dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx。
Turning F = ma into a differential equation
- Substituting gives $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — a separable 可分离 differential equation linking $v$ and $x$.
- Separate 分离 the variables ($v\,dv$ on one side, $x$ on the other) and integrate 积分.
When to use which form. Force depends on time → use $a = \dfrac{dv}{dt}$. Force depends on position → use $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Choosing the right one is half the battle.
把 F = ma 变成一个微分方程
- 代入给出 $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$——一个联系 $v$ 和 $x$ 的可分离微分方程(separable differential equation)。
- 分离变量($v\,dv$ 在一边,$x$ 在另一边)并积分。
何时用哪个形式。 力取决于时间 → 用 $a = \dfrac{dv}{dt}$。力取决于位置 → 用 $a = v\dfrac{dv}{dx}$。选对那个就成功了一半。
Substituting a = v dv/dx into F = ma gives a separable differential equation in v and x. · 把 a = v dv/dx 代入 F = ma 给出 v 和 x 中的一个可分离微分方程。
F(x) = mv dv/dx separates into v dv and an x-expression, then integrate. · F(x) = mv dv/dx 分离成 v dv 和一个 x-表达式,然后积分。
If instead the force depends on time t, the natural form for acceleration is: · 如果力取决于时间 t,加速度的自然形式是:
Time-dependent force → a = dv/dt; position-dependent → a = v dv/dx. · 时间相关的力 → a = dv/dt;位置相关的 → a = v dv/dx。
The method
-
- Write $F = ma$ with $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
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- Separate: gather $v$ terms with $dv$, $x$ terms with $dx$.
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- Integrate both sides, then apply the boundary conditions 边界条件 to find $v$ as a function of $x$.
- When the force depends on position, treat it as a variable force with $a=v\,dv/dx$.
方法
-
- 用 $a = v\dfrac{dv}{dx}$ 写 $F = ma$。
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- 分离:把 $v$ 项与 $dv$ 聚在一起,$x$ 项与 $dx$。
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- 对两边积分,然后应用边界条件求 $v$ 作为 $x$ 的函数。
- 当力依赖于位置时,把它当作变力(variable force),用 $a=v\,dv/dx$。
Put the steps for solving motion under a position-dependent force in order. · 把求解一个位置相关的力下的运动的步骤按顺序排列。
Set up with v dv/dx, separate, integrate, then use the conditions to fix the constant. · 用 v dv/dx 建立,分离,积分,然后用条件确定常数。
You've got it
- for a position-dependent force, use $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (from the chain rule)
- this makes $F = ma$ a separable differential equation in $v$ and $x$
- separate and integrate to find $v$ as a function of $x$
你掌握了
- 对一个位置相关的力,用 $a = v\dfrac{dv}{dx}$(来自链式法则)
- 这使 $F = ma$ 成为 $v$ 和 $x$ 中的一个可分离微分方程
- 分离并积分以求 $v$ 作为 $x$ 的函数