การแทนค่าและการวิเคราะห์ SHM
กราฟตำแหน่ง-เวลาของ SHM แสดงคลื่นไซน์ที่สมบูรณ์แบบตามเวลา
- ติดตามการสั่นของมวลและพล็อตตำแหน่งเทียบกับเวลา — คุณจะได้คลื่นที่เรียบลื่นและซ้ำกัน
- ไม่ใช่เส้นหยักเป็นรูปตัว Z แต่เป็นเส้นโค้งอย่างสง่างามของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์
- รูปร่างนี้คือลายนิ้วมือของ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย และช่วยให้เราทำนายทุกช่วงเวลาได้
- การอ่านกราฟบอกตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งได้ในพริบตา
สมการการเคลื่อนที่
- เริ่มจากจุดสูงสุด ตำแหน่งจะแปรผันตาม $x(t) = A\cos(\omega t)$.
- $A$ คือ ความกว้างของการสั่น (การกระจัดสูงสุด) และ $\omega = 2\pi f$ คือ ความถี่เชิงมุม
- หลังผ่านไปหนึ่งช่วงเวลา $T$ คลื่นจะซ้ำเดิมอย่างสมบูรณ์
- แทนค่าเวลาลงในสูตรจะได้ตำแหน่งที่แน่นอน
ตำแหน่งรอบวงจร
ก้าวผ่านเฟสของการสั่นเพื่อดูว่าตำแหน่งและพลังงานแปรผันอย่างไรตลอดวงจร
ออสซิลเลเตอร์เป็น $x(t) = 0.1\cos(4t)$ (เมตร). ตำแหน่งของมันที่ $t = 0$ คืออะไร, ในหน่วยเมตร?
$x(0) = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ — การกระจัดสูงสุด (แอมพลิจูด)
ใน $x(t) = A\cos(\omega t)$ สัญลักษณ์ $A$ คือ ____.
$A$ คือแอมพลิจูด — การกระจัดสูงสุดจากจุดสมดุล
จุดที่เร็วที่สุดและจุดที่มีความเร่งมากที่สุด
- ความเร็วมีค่ามากที่สุดในจุดกึ่งกลาง (สมดุล) และ เป็นศูนย์ที่ปลายทั้งสองข้าง (จุดกลับทิศทาง)
- ความเร่งมีค่ามากที่สุดในปลายทั้งสองข้าง และ เป็นศูนย์ที่จุดกึ่งกลาง
- เนื่องจากความเร่งแปรผันตามแรง: $a = -\dfrac{k}{m}x$, มากที่สุดเมื่อ $x$ มีค่ามากที่สุด
- ดังนั้นความเร็วและความเร่งจึง "ไม่พร้อมกัน" — ตัวหนึ่งถึงจุดสูงสุดเมื่ออีกตัวเป็นศูนย์
ออสซิลเลเตอร์ SHM เคลื่อนที่เร็วที่สุดที่ใด?
ความเร็วมากที่สุดที่ตรงกลาง ซึ่งมีความเร่ง (และแรง) เป็นศูนย์
ที่ใดมีความเร่งของออสซิลเลเตอร์ SHM มากที่สุด?
$a = -\tfrac{k}{m}x$ มีค่ามากสุดเมื่อ $x$ มีค่ามากสุด — ที่จุดสุดขั้ว
มวลเริ่มต้นที่ด้านขวาสุด เรียงลำดับสิ่งที่เกิดขึ้นต่อไป โดยเริ่มจากด้านบน
มันเร่งเข้าหาจุดกลาง (ความเร็วสูงสุดที่นั่น) จากนั้นลดความเร็วจนหยุดที่จุดสุดขั้วอีกฝั่ง
ตำแหน่ง, ความเร็ว, ความเร่ง
- ถ้าตำแหน่งเป็นฟังก์ชันโคไซน์ ความเร็วจะเป็น (ลบ) ฟังก์ชันไซน์ และความเร่งจะเป็น (ลบ) ฟังก์ชันโคไซน์
- แต่ละตัวถูกเลื่อนไปครึ่งหนึ่งของช่วง quarter-cycle จากตัวก่อนหน้า
- ความเร่งจะมีทิศทางตรง ข้าม การกระจัดเสมอ — นั่นคือเงื่อนไขของ SHM อีกครั้ง
- กราฟทั้งสามรวมกันเล่าเรื่องราวของการเคลื่อนที่ได้อย่างครบถ้วน
ในการเคลื่อนที่แบบ SHM ความเร่งชี้ไปทางตรงข้ามกับการกระจัดเสมอ
$a = -\tfrac{k}{m}x$: เครื่องหมายลบหมายความว่าความเร่งต้านทานการกระจัด
ใน SHM ความเร็วและความเร่ง ไม่เป็น จุดสูงสุดพร้อมกัน ความเร็วมีค่ามากที่สุดใน ศูนย์กลาง (ซึ่งความเร่งเป็นศูนย์); ความเร่งมีค่ามากที่สุดใน ขอบเขต (ซึ่งความเร็วเป็นศูนย์) การสับสนระหว่างสองสิ่งนี้เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
ออสซิลเลเตอร์มีความกว้างการสั่น $A = 0.1\ \text{m}$ และความถี่เชิงมุม $\omega = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, เริ่มต้นที่จุดสูงสุด
- ตำแหน่ง: $x(t) = 0.1\cos(4t)$.
- ที่ $t = 0$: $x = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ (ค่าสูงสุด), ซึ่งความเร็วเป็นศูนย์
ตำแหน่งของ SHM แปรผันตาม $x(t) = A\cos(\omega t)$ — เป็นfavoritesinusoidal ที่มี ความกว้างการสั่น $A$ และ ความถี่เชิงมุม $\omega = 2\pi f$. ความเร็วถึงจุดสูงสุดที่ศูนย์กลาง, ความเร่งถึงจุดสูงสุดที่ขอบเขต, และความเร่งชี้ไปทาง ตรงข้าม การกระจัดเสมอ