กฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบการหมุน
Twist เหนือกว่าเพื่อหมุนเร็วขึ้น — แต่ล้อใหญ่ต้านทาน
- พยายามหมุนล้อจักรยานแรงๆ มันจะหมุนเร็วขึ้นทันที; ล้อดีดตัวที่หนัก RESPONSE ต่ำต่อแรงบิดเดียวกัน.
- โมเมนต์แรง มากขึ้น ช่วยเพิ่มความเร็วในการหมุน; โมเมนต์ความเฉื่อย มากขึ้น ทนต่อการเปลี่ยนแปลง.
- มีสมการเดียวที่เชื่อมโยงโมเมนต์แรง ความเฉื่อย และการเร่งรอบแกนหมุนเข้าด้วยกัน.
- นั่นคือกฎข้อที่สองของนิวตัน — ในเวอร์ชันสำหรับการหมุน.
กฎข้อที่สองของการหมุน
- โมเมนต์แรงลัพธ์เท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อย คูณด้วยการเร่งรอบแกนหมุน: $\sum \tau = I\alpha$.
- จัดรูปใหม่: $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I}$ — การเพิ่มความเร็วในการหมุนที่โมเมนต์แรงสร้างได้.
- โมเมนต์แรงมากขึ้น ⇒ การเร่งรอบแกนหมุน $\alpha$ มากขึ้น; ความเฉื่อย $I$ มากขึ้น ⇒ การเร่งรอบแกนหมุน $\alpha$ น้อยลง.
- มันคือคู่exact ของ $\vec F = m\vec a$, โดยแทนที่ปริมาณการหมุนเข้าไป.
มีโมเมนต์แรงสุทธิ $12\ \text{N·m}$ กระทำบนล้อที่มี $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ ความเร่งเชิงมุมคือเท่าไร ในหน่วย $\tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$?
$\alpha = \sum\tau / I = 12/3 = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
โมเมนต์แรงสุทธิเท่าใดที่ทำให้ล้อที่มี $I = 2\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ มีความเร่งเชิงมุม $5\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$? ตอบเป็น $\text{N·m}$
$\tau = I\alpha = 2 \times 5 = 10\ \text{N·m}$.
กฎข้อที่สองแบบการหมุนคือ โมเมนต์แรงสุทธิ $= I\_\_$ (เติมปริมาณเชิงมุม)
$\sum\tau = I\alpha$ — ความเฉื่อย คูณกับ ความเร่งเชิงมุม
ความ类比ที่สมบูรณ์
- แรง $\to$ → โมเมนต์แรง $\tau$; มวล $\to$ → โมเมนต์ความเฉื่อย $I$; การเร่ง $\to$ → การเร่งรอบแกนหมุน $\alpha$.
- กฎ每一条เส้นตรงจะมีคู่แบบหมุนที่ได้จากการสลับนี้.
- $F = ma$ กลายเป็น $\tau = I\alpha$; โมเมนตัม $mv$ กลายเป็นโมเมนตัมเชิงมุม $I\omega$.
- เรียนรู้คอลัมน์หนึ่ง คุณจะได้อีกคอลัมน์มาฟรี.
ในกฎข้อที่สองแบบการหมุน $\tau = I\alpha$ ปริมาณใดทำหน้าที่แทนมวล?
ความเฉื่อยในการหมุน $I$ เป็นตัวเทียบเท่าแบบการหมุนของมวล — คือความต้านทานต่อการเร่งเชิงมุม
จับคู่ปริมาณการหมุนแต่ละชนิดกับตัวเทียบเท่าเชิงเส้น
$\tau \leftrightarrow F$, $I \leftrightarrow m$, $\alpha \leftrightarrow a$ เปลี่ยน $F = ma$ ให้กลายเป็น $\tau = I\alpha$
ทำไมล้อหนักถึงหมุนช้า
- ค่า $I$ ที่ใหญ่ (มวลอยู่ห่างจากแกน) ทำให้โมเมนต์แรงที่กำหนดให้สร้างความเร่งรอบแกนหมุน $\alpha$ เพียงเล็กน้อย.
- ล้อดีดตัวใช้สิ่งนี้เป็นเจตนา — ทนต่อการเปลี่ยนแปลงของการหมุน เพื่อทำให้การหมุนของเครื่องยนต์ราบรื่น.
- เพื่อให้ล้อหนักหมุนเร็วขึ้น你需要 large torque.
- โมเมนต์แรงเท่าเดิม ความเฉื่อยมากขึ้น ⇒ ช้าที่จะเริ่มต้น และช้าที่จะหยุด.
กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการหมุน
โมเมนต์แรงทำให้เกิดความเร่งเชิงมุมตามสัดส่วนของความเฉื่อยในการหมุน: โมเมนต์แรง = I คูณด้วย alpha
สำหรับโมเมนต์แรงสุทธิเท่ากัน ความเฉื่อยในการหมุนที่ใหญ่กว่าจะทำให้ได้ความเร่งเชิงมุมที่น้อยกว่า
$\alpha = \tau / I$: ค่า $I$ ที่ใหญ่กว่าในตัวส่วนทำให้ค่า $\alpha$ เล็กลง
กฎข้อที่สองของการหมุนใช้ โมเมนต์แรงลัพธ์ ไม่ใช่แรง, และ โมเมนต์ความเฉื่อย ไม่ใช่มวล. อย่าใส่มวลธรรมดาลงใน $\tau = I\alpha$ — คุณต้องใช้ $I = \sum mr^2$, ซึ่งขึ้นอยู่กับวิธีการจัดเรียงมวล.
มีโมเมนต์แรงลัพธ์ $12\ \text{N}\cdot\text{m}$作用于ล้อที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
- $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I} = \dfrac{12}{3} = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
เพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นสองเท่า และโมเมนต์แรงเท่าเดิมจะให้เฉพาะ $2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการหมุน: $\sum \tau = I\alpha$, ดังนั้น $\alpha = \sum\tau / I$. มันสะท้อน $F = ma$ โดยเปลี่ยนแรงเป็นโมเมนต์แรง, มวลเป็นโมเมนต์ความเฉื่อย, และการเร่งเป็นการเร่งรอบแกนหมุน. ค่า $I$ ที่ใหญ่ทำให้วัตถุหมุนเร็วขึ้นหรือช้าลงได้ยาก.