การเชื่อมโยงการเคลื่อนที่เชิงเส้นและการหมุน
บนรถเหวี่ยง, ขอบจะหมุนผ่านอย่างรวดเร็ว
- ยืนใกล้ศูนย์กลางของรถเหวี่ยงที่กำลังหมุน คุณจะลอยตัวช้าๆ
- ยืนอยู่ที่ขอบแล้วคุณจะหมุนวนอย่างรวดเร็ว — ทุกคนยังแบ่งปัน การหมุน เหมือนกัน
- แพลตฟอร์มทั้งหมดหมุนไปด้วยกัน ดังนั้นทุกคนจึงมีความเร็วเชิงมุมเท่ากัน
- แต่ความเร็วเชิงเส้นของแต่ละผู้โดยสารขึ้นอยู่กับว่านั่งห่างจากศูนย์กลางเท่าไหร่
สมการสะพานเชื่อม
- ความยาวส่วน弧 เชื่อมต่อกับมุม: $s = r\theta$
- ความเร็วเชิงเส้น เชื่อมต่อกับความเร็วเชิงมุม: $v = r\omega$
- ความเร่งสัมผัส เชื่อมต่อกับความเร่งเชิงมุม: $a_t = r\alpha$
- ในทุกกรณี ให้คูณปริมาณเชิงมุมด้วย รัศมี $r$
รัศมีกำหนดความเร็ว
เปลี่ยนรัศมีเพื่อดูว่าความยาวส่วนโค้ง (และดังนั้นความเร็วเชิงเส้น) สเกลตาม r อย่างไร
จุดหนึ่งอยู่ $0.3\ \text{m}$ จากแกนของล้อ หมุนด้วย $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ ความเร็วเชิงเส้นของมันคือเท่าไร ใน $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
ความยาวส่วนโค้งที่ swept คือ $s = r\_\_$ (เติมปริมาณเชิงมุม)
$s = r\theta$ — รัศมียามุมในหน่วยเรเดียน
เลือกสมการสะพานเชื่อมเชิงเส้น–หมุนที่ถูกต้อง ทั้งหมด
แต่ละสมการเชื่อมโยงปริมาณเชิงมุมกับเชิงเส้นด้วยการคูณด้วย $r$. $v = \omega/r$ ผิด
ยิ่งไกลยิ่งเร็ว
- เนื่องจาก $v = r\omega$, รัศมีที่ใหญ่กว่าจะทำให้มีความเร็วเชิงเส้นมากขึ้นสำหรับการหมุนเท่ากัน
- ขอบล้อเคลื่อนที่เร็วกว่าจุดใกล้แกนกลาง
- นี่คือเหตุผลว่าทำไมปลายคันโยกที่ยาวมาก, ขอบใบพัดลม หรือม้าตัวนอกสุดบนรถหมุน จึงเคลื่อนที่เร็วที่สุด
- มี $\omega$ เดียวกันทุกจุดบนวัตถุ; แต่มี $v$ ที่แตกต่างกันไปตามรัศมี
บนจานแข็งที่กำลังหมุน จุดที่ขอบและจุดใกล้กึ่งกลางเปรียบเทียบกันอย่างไร?
ทุกจุดมี $\omega$ เช่นกัน; ขอบมีรัศมียิ่งใหญ่กว่า ดังนั้น $v = r\omega$ จึงมากกวากันที่นั่น
สำหรับล้อข้างต้น ความเร็วเชิงเส้นที่ $0.6\ \text{m}$ จากแกนคือเท่าไร ใน $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — รอยรัศมียิ่งใหญ่ขึ้น รอยความเร็วยิ่งใหญ่อีก
การกลิ้งโดยไม่ลื่นไถล
- เมื่อล้อกลิ้งโดยไม่ลื่นไถล จุดศูนย์กลางของล้อจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $v = r\omega$
- จุดสัมผัสพื้นจะหยุดนิ่งชั่วคราว; ส่วนบนของล้อจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $2v$
- เงื่อนไขอันสวยงามนี้เชื่อมโยงการหมุนของล้อเข้ากับการเคลื่อนที่ไปข้างหน้า
- เราจะนำมันมาใช้ใหม่อีกครั้งในหัวข้อพลังงานจากการกลิ้งในบทถัดไป
ล้อที่กลิ้งโดยไม่ลื่นไถล มีศูนย์กลางเคลื่อนที่ที่ $v = r\omega$
การกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลเชื่อมโยงการเดินทางกับการหมุนโดย $v = r\omega$ อย่างแม่นยำ
ทุกจุดบนวัตถุแข็งที่หมุนอยู่จะมีความเร็วเชิงมุม $\omega$ เหมือนกัน แต่ไม่มีความเร็วเชิงเส้น $v$ เช่นกัน อย่าสันนิษฐานว่าขอบและจุดศูนย์กลางเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงเส้นเท่ากัน — ขอบเคลื่อนที่เร็วกว่ามากเพราะรัศมีของมันใหญ่กว่า ($v = r\omega$)
จุดหนึ่งอยู่ห่างจากแกนหมุนของล้อ $0.3\ \text{m}$ ล้อหมุนด้วยความเร็ว $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
จุดที่อยู่ห่าง $0.6\ \text{m}$ จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — เร็วกว่าสองเท่าสำหรับการหมุนเดียวกัน
การเคลื่อนที่เชิงเส้นและการเคลื่อนที่เชิงมุมเชื่อมโยงกันโดย รัศมี: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$ ทุกจุดบนวัตถุแข็งจะมีความเร็วเชิงมุม $\omega$ เหมือนกัน แต่จุดที่อยู่ไกลจากแกนจะมีความเร็วเชิงเส้น $v$ ที่มากกว่า ล้อที่กลิ้งโดยไม่ลื่นไถลเป็นไปตาม $v = r\omega$