รัศมีของดาว

คำศัพท์

English	ไทย
temperature/ˈtemprɪtʃə/	อุณหภูมิ
Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/	กฎการเคลื่อนที่ของไวน์
Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/	กฎของสเตฟาน-โบลต์ซมัน
blackbody/ˈblækbɒdi/	วัตถุดำ
wavelength/ˈweɪvleŋθ/	ความยาวคลื่น
Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/	ค่าคงที่สเตฟาน-โบลต์ซมัน

ไม่มีกล้องโทรทรรศน์ใดสามารถเห็นดาวเป็นดิสก์ได้

ทุกดาวยกเว้นดวงอาทิตย์เป็น point แม้ในกล้องโทรทรรศน์ที่ใหญ่ที่สุด. ดิสก์ของมันเล็กเกินไปที่จะแยกแยะได้
อย่างไรก็ตาม รัศมีของดาวที่ห่างหลายพันปีแสงเป็นการคำนวณ routine, และทำได้จากสองสิ่งที่วัดได้: สีและ ความสว่าง
สีให้ค่าอุณหภูมิพื้นผิว. ความสว่างและระยะทางให้ total power. สองสิ่งนี้รวมกันให้ size
บทเรียนนี้คือ Wien's displacement lawและ Stefan-Boltzmann law- และสามขั้นตอน chain ที่เชื่อม将它们 together

Wien's displacement law

วัตถุร้อนแผ่ blackbody spectrum ต่อเนื่อง whose peak อยู่ที่ wavelengthที่กำหนดโดย temperature:

$$\lambda_{\text{max}} T = b, \qquad b = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$$

Wavelength ที่ intensity เป็น maximum เป็น inversely proportional กับ thermodynamic temperature. บอกว่า "wavelength of maximum intensity", not just "the wavelength".
Temperature ต้องอยู่ใน kelvin, และกฎอธิบาย peak of the continuous curve, not spectral lines
Hotter means bluer: ดาวแดงใกล้ $3000\ \text{K}$ มี peak ใน infrared, ดวงอาทิตย์ใกล้ $5800\ \text{K}$ มี peak ประมาณ $500\ \text{nm}$, และดาวสีน้ำเงินขาวใกล้ $20000\ \text{K}$ มี peak ใน ultraviolet

วัตถุดำที่ร้อนกว่าแผ่รังสีมากขึ้นในทุกความยาวคลื่น และจุดสูงสุดจะเลื่อนไปทางสีฟ้า

*Hotter, taller, and further left

ฝึกฝน

ดาวร้อนกว่าจะมีpeak สเปกตรัม (Wien's law) ที่ความยาวคลื่น ____

ฝึกฝน

ข้อใดบ้างอยู่ในคำกล่าวของกฎการเลื่อนของไวน์? เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้อง

ความยาวคลื่นที่ intensity เป็นสูงสุด
แปรผกผันกับอุณหภูมิเทอร์โมไดนามิก
อุณหภูมิต้องอยู่ในหน่วยเคลวิน
มันอธิบายตำแหน่งของเส้นสเปกตรัม

ตัวอย่างวิธีทำ: การหาอุณหภูมิของดาว

Example

Spectrum ของดาว peak ที่ $500\ \text{nm}$. จงหาอุณหภูมิพื้นผิว.
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
แปลง nanometres เป็น metres ก่อน. Constant อยู่ใน metre kelvin, ดังนั้น wavelength เป็น nmจะให้ temperature ผิด $10^9$
การวัดค่าหนึ่งค่านี้เป็นเหตุผลหลักที่ทำให้สีของดาวมีประโยชน์: สีคืออุณหภูมิ

ฝึกฝน

สเปกตรัมของดาว peak ที่ $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$ อุณหภูมิพื้นผิวของมันคืออะไร? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)

ฝึกฝน

จับคู่แต่ละดาวกับที่สเปกตรัมของมัน peak

ในอินฟราเรด

ใกล้ 500 nm, ในVisible

ในยูวี

ดาวแดงเย็น, ประมาณ 3000 K
ดวงอาทิตย์, ประมาณ 5800 K
ดาวขาวฟ้าร้อน, ประมาณ 20000 K

กฎของสเตฟาน-โบลต์ซมันน์

พิจารณาดาวเป็นทรงกลมสีดำ (blackbody)รัศมี $r$ ที่อุณหภูมิพื้นผิว $T$:

$$L = 4\pi\sigma r^2 T^4, \qquad \sigma = 5.67\times10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{ K}^4)$$

$\sigma$ คือ ค่าคงที่สเตฟาน-โบลต์ซมันน์
มีสองปัจจัย และมีความแตกต่างอย่างมากในระดับความสำคัญ $L \propto r^2$: รัศมียิ่งเป็นสองเท่า ความสว่างจะเพิ่มเป็น สี่ เท่า $L \propto T^4$: อุณหภูมิยิ่งเป็นสองเท่า ความสว่างจะเพิ่มเป็น สิบหก เท่า
ดังนั้นข้อผิดพลาดเล็กน้อยในอุณหภูมิจะส่งผลให้ข้อผิดพลาดใหญ่ในความสว่าง นี่คือเหตุผลที่ต้องอ่านค่าความยาวคลื่นสูงสุดอย่างระมัดระวัง

สำรวจ

ความสว่างและรัศมีของดาว

L ∝ r²

สำหรับอุณหภูมิพื้นผิวที่กำหนด ความสว่างของดาวจะเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของรัศมี (กฎของสเตฟาน)

ฝึกฝน

กฎสเตฟาน-โบลต์ซแมนน์ให้ความส่องสว่างของดาวเป็น:

$4\pi\sigma r^{2}T^{4}$
$4\pi\sigma r T$
$\sigma r^{2}T$
$4\pi r^{2}T^{2}$

ฝึกฝน

การใช้ $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, ข้อใดเป็นจริง? เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้อง

การเพิ่มรัศมีเป็นสองเท่าที่ T คงที่คูณ L ด้วย 4
การเพิ่มอุณหภูมิเป็นสองเท่าที่ r คงที่คูณ L ด้วย 16
ข้อผิดพลาดเล็กน้อยใน T ทำให้ข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ใน L
การเพิ่มอุณหภูมิเป็นสองเท่าที่ r คงที่คูณ L ด้วย 8

ตัวอย่างวิธีทำ: ความสว่างของดาวคล้ายดวงอาทิตย์

Example

ดาวดวงหนึ่งมีรัศมี $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ และอุณหภูมิพื้นผิว $5800\ \text{K}$ จงหาความสว่างของมัน
$L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
ยกกำลังสองรัศมี และยกกำลังสี่อุณหภูมิ บนเครื่องคิดเลข ให้ทำ $T^4$ เป็นขั้นตอนแยกต่างหากและตรวจสอบขนาดของผลลัพธ์: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$

ฝึกฝน

ถ้าอุณหภูมิของดาวเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า (รัศมีเท่าเดิม) ความส่องสว่างจะเพิ่มขึ้นเป็น:

ความสว่างเท่ากัน แต่ดาวต่างกัน

เนื่องจาก $L$ ขึ้นอยู่กับทั้ง $r$ และ $T$ ดาวที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงอาจมีความสว่างเท่ากันได้
ดาวยักษ์แดง มีอุณหภูมิต่ำ ทำให้ $T^4$ ของมันน้อย แต่มันมีขนาดใหญ่มหาศาล และ $r^2$ ชดเชยส่วนนี้ไว้ได้
ดาวแคระขาว ร้อนมากแต่มีขนาดเล็ก: $T^4$ ที่สูงมากเมื่อเทียบกับ $r^2$ ที่เล็กนิดเดียว
ทุกครั้งที่คำตอบดูน่าประหลาดใจ ให้ตรวจสอบด้วยวิธีนี้ ดาวที่มี $140$ เท่ากับดวงอาทิตย์ แต่ร้อนเพียง $1.6$ เท่า ต้อง มีขนาดใหญ่กว่ามาก เพราะ $L \propto r^2T^4$

ฝึกฝน

เรียงลำดับสามขั้นตอนในการประมาณรัศมีของดาว

วัดความยาวคลื่น peak และได้ T จากกฎไวน์
ได้ความส่องสว่างจากฟลักซ์และระยะทาง, L = 4 pi d^2 F
แก้กฎสเตฟาน-โบลต์ซแมนน์เพื่อหา r

การประมาณค่ารัศมี ในสามขั้นตอน

หนึ่ง. วัด $\lambda_{\text{max}}$ แล้วได้ $T$ จากกฎของไวน์
ขั้นที่สอง: หา $L$ โดยทั่วไปจากฟลักซ์และระยะทาง: $L = 4\pi d^2 F$
ขั้นที่สาม: แก้สมการกฎของสเตฟาน-โบลต์ซมันน์เพื่อหาค่ารัศมี:

$$r = \sqrt{\frac{L}{4\pi\sigma T^4}}$$

แต่ละขั้นตอนใช้เพียงบรรทัดเดียว รักษา ความแม่นยำเต็มรูปแบบ ของ $L$ และ $T$ ไปจนจบ เพราะ $T$ ถูกยกกำลังสี่ และการปัดเศษก่อนเวลาอันควรจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดสูง

ฝึกฝน

การรวมกฎไวน์และกฎสเตฟาน-โบลต์ซแมนน์ช่วยให้เราประมาณรัศมีของดาวได้

ฝึกฝน

แสงอาทิตย์มีฟลักซ์ 1370 W/m^2 ที่ 1.50e11 m และสเปกตรัมของดวงอาทิตย์ peak ที่ 500 nm รัศมีของดวงอาทิตย์คือเท่าไหร่ในหน่วย 1e8 m?

ตัวอย่างวิธีทำ: รัศมีของดวงอาทิตย์ โดยเริ่มจากศูนย์

Example

แสงแดดที่ถึงโลกมีฟลักซ์ $1370\ \text{W/m}^2$ ที่ระยะ $1.50\times10^{11}\ \text{m}$ และสเปกตรัมของดวงอาทิตย์มีความเข้มสูงสุดที่ $500\ \text{nm}$ ประมาณค่ารัศมีของดวงอาทิตย์
ความสว่าง: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$
อุณหภูมิ: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$
รัศมี: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$
ค่าที่ยอมรับกันคือ $6.96\times10^{8}\ \text{m}$ ใช้เพียงสามสูตรแบบบรรทัดเดียว ไม่ต้องใช้กล้องโทรทรรศน์ที่มีความละเอียดสูง

ฝึกฝน

ใน $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ และ $F = L/(4\pi d^2)$ ความยาว $r$ และ $d$ มีความหมายเหมือนกัน

คะแนนที่หลุดหายไป

Watch out

กฎของไว恩เกี่ยวข้องกับ ความยาวคลื่นของความเข้มสูงสุด และ $T$ ต้องอยู่ในหน่วย เคลวิน
แปลง $\lambda_{\text{max}}$ เป็น เมตร; ค่าคงที่ $b$ อยู่ในหน่วยเมตร-เคลวิน
ใน $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ คือ รัศมีของดาว; ใน $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ คือ ระยะห่างจากเรา เป็นสองความยาวที่แตกต่างกัน และการสลับตำแหน่ง它们是常见错误ในหัวข้อนี้
รักษาความแม่นยำเต็มรูปแบบไปจนถึงบรรทัดสุดท้าย เพราะ $T$ ถูกยกกำลังสี่
สำหรับ ดาราจักรที่เคลื่อนที่ห่างออกไป ต้องปรับค่าความยาวคลื่นสูงสุดที่สังเกตได้ก่อนใช้กฎของไว恩 มิฉะนั้นอุณหภูมิที่ได้จะต่ำเกินไป

คุณเข้าใจแล้ว

Key idea

กฎการเลื่อนของไว恩: ความยาวคลื่นของความเข้มสูงสุดแปรผกผันกับอุณหภูมิเทอร์โมไดนามิก, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
สเตฟาน-โบลต์ซมันน์: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ ดังนั้นความสว่างจึงแปรตาม กำลังสอง ของรัศมีและ กำลังสี่ ของอุณหภูมิ
การหาค่ารัศมีแบ่งเป็นสามขั้นตอน: $\lambda_{\text{max}} \to T$, จากนั้น $F$ และ $d \to L$, แล้วจึงได้ $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
แยก $r$ (ของดาว) ออกจาก $d$ (ถึงเรา) และรักษาความแม่นยำเต็มรูปแบบไปจนจบเนื่องจาก $T^4$