Функции
| English | Русский |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | функцией |
| domain/dəˈmeɪn/ | области определения |
| range/reɪndʒ/ | область значений |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | обратная функция |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | составная функция |
Машина с входом и выходом
- Торговый автомат: вы вводите код (вход), он выдает закуску (выход). Функция работает так же — каждый вход дает ровно один выход.
- $f(x) = 3x - 5$ является функцией: введите $x = 2$, получите на выходе $f(2) = 1$.
Вычисление значений функций
- $f(x) = 3x - 5$: $\;f(2) = 3(2) - 5 = 1$; $\;f(0) = -5$; $\;f(-1) = -8$.
- Область определения — это множество допустимых входов. Область значений — это множество возможных выходов.
$f(x) = \sqrt{x}$ имеет область определения $x \geq 0$ (нельзя извлечь корень из отрицательного числа) и область значений $f(x) \geq 0$.
Функции
y = f(x)
Функция преобразует каждый вход ровно в один выход — следите за её формой.
Для f(x) = 3x − 5, чему равно f(2)?
f(2) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1.
Для f(x) = x² + 1, чему равно f(3)?
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
Обратные функции
- Обратная $f^{-1}$ отменяет действие $f$: если $f$ превращает $2$ в $1$, то $f^{-1}$ превращает $1$ обратно в $2$.
- Метод: запишите $y = f(x)$, поменяйте местами $x$ и $y$, затем выразите $y$.
- $f(x) = 3x - 5$: $y = 3x - 5$, поменяли местами: $x = 3y - 5$, решили: $y = \dfrac{x+5}{3}$.
- Получается $f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3}$. Проверка: $f^{-1}(1) = \dfrac{6}{3} = 2$ ✓.
$f^{-1}$ НЕ равно $f$ в степени $-1$. Обозначение $f^{-1}(x)$ означает «обратная функция от $f$», а не «$\dfrac{1}{f(x)}$». Это совершенно разные вещи.
Обратная функция для f(x) = 3x − 5 равна f⁻¹(x) = (x + 5)/3. Чему равно f⁻¹(1)?
f⁻¹(1) = (1 + 5)/3 = 6/3 = 2.
Чтобы найти обратную функцию f(x), запишите y = f(x), поменяйте x и y местами, затем выразите ______ как главную переменную.
После замены решите уравнение относительно y — это даст вам f⁻¹(x).
Композиция функций
- $gf(x)$ означает «сначала выполните $f$, затем примените $g$ к результату».
- $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 3$: $gf(x) = g(2x) = 2x + 3$.
- $fg(x) = f(x+3) = 2(x+3) = 2x + 6$. Порядок важен!
Если f(x) = 2x и g(x) = x + 3, чему равно gf(x) при x = 5? (gf означает сначала применить f)
gf(5) = g(f(5)) = g(10) = 10 + 3 = 13.
Для f(x) = 2x и g(x) = x + 3, gf(x) и fg(x) дают одинаковый результат.
gf(x) = 2x + 3, но fg(x) = 2(x+3) = 2x + 6. Порядок важен.
Интересный факт
- Тождественная функция $I(x) = x$ ничего не изменяет. Для любой функции $f \circ f^{-1} = I$ — композиция функции с ее обратной возвращает исходный вход.
Каждая кривая здесь является функцией: для каждого входа $x$ существует ровно один выход $y$.
Вы поняли
- $f(x) = 3x - 5 \Rightarrow f(2) = 1$; область определения = входы, область значений = выходы
- обратная $f^{-1}$ отменяет действие $f$: поменяйте местами $x$ и $y$, затем решите относительно $y$
- композиция $gf(x)$ = сначала выполните $f$, затем $g$; порядок важен ($gf \neq fg$)