Последовательности
| English | Русский |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | последовательность |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | правило от члена к члену |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | общая разность |
| nth term/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm/ | n-й член |
| quadratic sequence/kwɒˈdrætɪk ˈsiːkwəns/ | квадратичная последовательность |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | геометрическая прогрессия |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | общий знаменатель |
Прогнозирование будущего
- Подсолнечник образует ряд лепестков по закону Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
- Последовательности — это закономерности в числах. Зная правило, можно предсказать любой член — даже миллионный.
Правило перехода от члена к члену
- Самая простая последовательность прибавляет (или вычитает) фиксированную величину каждый раз: $2, 5, 8, 11, \dots$ возрастает на $3$.
- Это правило перехода от члена к члену (или общая разность).
*Брокколи Романо: самоподобные спирали образуют естественную числовую закономерность
Последовательности
uₙ = a + (n − 1)d
Арифметическая последовательность прибавляет одинаковое значение на каждом шаге; сумма растет равномерно.
n-й член (правило позиции к члену)
- Для линейной последовательности (постоянная разность $d$) n-й член равен $dn + c$.
- $2, 5, 8, 11, \dots$: разность $d = 3$, первый член $= 2$, поэтому $3n - 1$.
- Проверка: $n=1 \Rightarrow 3(1)-1 = 2$ ✓; $\;n=4 \Rightarrow 3(4)-1 = 11$ ✓.
Нахождение c. Последовательность начинается со значения $2$ при $n=1$: $3(1) + c = 2 \Rightarrow c = -1$. Следовательно, n-й член равен $3n - 1$.
n-й член последовательности 2, 5, 8, 11, … равен 3n − 1. Чему равен 10-й член?
3 × 10 − 1 = 30 − 1 = 29.
Для линейной последовательности, возрастающей на 3 на каждом шаге, n-й член содержит:
Постоянную разность 3, поэтому n-й член имеет вид 3n, скорректированного константой.
n-й член последовательности 4, 7, 10, 13, … равен 3n + ______.
3(1) + c = 4 → c = 1. n-й член равен 3n + 1.
Простые квадратичные последовательности
- Когда первые разности меняются, а вторые разности постоянны, это квадратная последовательность.
- $2, 5, 10, 17, \dots$: первые разности $3, 5, 7$; вторые разности $2, 2$.
- Коэффициент $n^2$ равен половине второй разности: $\dfrac{2}{2} = 1$, следовательно, член $n^2$ равен $n^2$.
- Корректировка: $n^2 + 1$ дает $2, 5, 10, 17$. ✓
Числовые прямые тоже показывают закономерности: в квадратной последовательности промежутки между членами равномерно растут.
Половина второй разности. Коэффициент $n^2$ равен $\dfrac{\text{second difference}}{2}$, а не самой второй разности. Для $2, 5, 10, 17$ вторая разность равна $2$, что дает $n^2$ (не $2n^2$).
n-й член последовательности 2, 5, 10, 17, … равен n² + 1. Чему равен 5-й член?
5² + 1 = 25 + 1 = 26.
В квадратичной последовательности вторые разности постоянны.
Первые разности изменяются равномерно, но вторые разности (разности первых разностей) постоянны.
Геометрические последовательности
- Каждый член умножается на фиксированный коэффициент: $3, 6, 12, 24, \dots$ (умножайте на 2 каждый раз).
- n-й член равен $a \times r^{n-1}$, где $a$ — первый член, а $r$ — общий коэффициент.
- $3 \times 2^{n-1}$: $\;n=1 \Rightarrow 3$, $\;n=4 \Rightarrow 3 \times 8 = 24$. ✓
n-й член последовательности 3, 6, 12, 24, … равен 3 × 2^(n−1). Чему равен 6-й член?
3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
Найдите пятый член последовательности uₙ = n³ + 2.
5³ + 2 = 125 + 2 = 127.
Кубы и проверка номера члена
- Базовый курс включает простые кубические последовательности. $3,10,29,66$ на 2 больше, чем $1^3,2^3,3^3,4^3$, поэтому $u_n=n^3+2$. Пятый член равен $u_5=125+2=127$.
- Для $u_n=4n+3$ проверка того, является ли 100 членом последовательности, даёт результат $4n+3=100$, следовательно, $n=24.25$. Номер члена должен быть положительным целым числом, поэтому 100 не входит в эту последовательность.
Вы поняли
- линейная последовательность: n-й член $= dn + c$ (постоянная разность $d$) → $2,5,8,11 \to 3n-1$
- простая квадратичная: вторая разность равна $= 2 \times$ удвоенного коэффициента при $n^2$ → $2,5,10,17 \to n^2 + 1$
- геометрическая: n-й член $= a \times r^{n-1}$ (постоянный коэффициент $r$) → $3,6,12,24 \to 3 \times 2^{n-1}$