Основы алгебры и преобразования
| English | Русский |
|---|---|
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | алгебра |
| variable/ˈveərɪəbl/ | переменной |
| substitute/ˈsʌbstɪtjuːt/ | замещение |
| like terms/laɪk tɜːmz/ | подобные слагаемые |
| expanding/ekˈspændɪŋ/ | расширялась |
| factorising/ˈfæktəraɪzɪŋ/ | вынесение общего множителя |
| difference of two squares/ˈdɪfrəns ɒv tuː skweəz/ | разность квадратов |
Язык неизвестного
- Аль-Хорезми, персидский математик 9 века, написал первую книгу об «аль-джабре» — восстановлении и уравновешивании. Отсюда и происходит слово «алгебра».
- Он использовал слова вместо букв. Мы используем буквы, потому что это быстрее — и потому что одна буква может обозначать любое число.
Алгебраические преобразования
Следуйте шагам решения выражения: от приведения подобных слагаемых до нахождения ответа.
Переменные и подстановка
- Переменная — это буква, обозначающая число. Её значение может меняться.
- Подставить означает заменить букву конкретным числом.
- Пример: $3x^2 - 2y$ при $x = 4$, $y = 5$: $\;3(4)^2 - 2(5) = 48 - 10 = 38$.
Сначала возведите в квадрат, затем умножьте. $3x^2$ при $x = 4$ равно $3 \times 16 = 48$, а не $(3 \times 4)^2 = 144$. Показатели степени относятся только к букве, стоящей непосредственно перед ними.
Приведение подобных слагаемых: сложение слагаемых с одинаковой буквой
Найдите значение выражения 3x² − 2y при x = 4 и y = 5.
3 × 4² − 2 × 5 = 3 × 16 − 10 = 48 − 10 = 38.
Приведение подобных слагаемых
- Подобные слагаемые имеют одинаковые буквы(и) в одинаковых степенях(ях).
- $2a^2 + 5a^2 = 7a^2$ (одинаковая буква, одинаковая степень — приводим подобные).
- $3x + 2y$ не может быть упрощено — разные буквы.
Упростите 2a² + 5a² + 3a − a. Каков коэффициент при a²?
2a² + 5a² = 7a²; 3a − a = 2a. Коэффициент при a² равен 7.
Раскрытие скобок
- Одна скобка: $3(2x + 5) = 6x + 15$.
- Двойные скобки (FOIL): $(2x + 1)(x - 4) = 2x^2 - 8x + x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$.
Быстрая проверка. $(x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$. Свободный член равен $3 \times 5 = 15$.
Раскройте скобки (2x + 1)(x − 4) = 2x² + bx + c. Чему равно свободный член c?
(2x+1)(x−4) = 2x² − 8x + x − 4 = 2x² − 7x − 4, следовательно c = −4.
(x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15.
x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. ✓
Разложение на множители
- Разложение на множители — это обратная операция раскрытию скобок; запись в виде произведения.
- Общий множитель: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$.
- Расширенное разложение квадратного трехчлена: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.
- Расширенная разность квадратов: $9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4)$.
Разложение разности квадратов ($a^2 - b^2$) аналогично сравнению двух площадей.
Разложите на множители разность квадратов 9x² − 16.
a² − b² = (a+b)(a−b), где a = 3x, b = 4.
Соотнесите каждое выражение с его факторизацией.
x²+7x+10: множители 10, дающие в сумме 7, это 2 и 5. x²−9 = x²−3². 6x+9: НОК равен 3. x²+4x+4 является полным квадратом.
Вы поняли
- Подставьте числа вместо букв; приведите подобные слагаемые
- Раскройте скобки = умножьте; разложите на множители = запишите как произведение
- (Расширенное) $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ — разность квадратов