Энергия гармонических осцилляторов
| English | Русский |
|---|---|
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | затухание |
Качели обменивают высоту на скорость снова и снова
- На вершине дуги качели неподвижны, но находятся высоко; внизу они низко, но движутся очень быстро.
- Они бесконечно обменивают потенциальную энергию на кинетическую и обратно.
- Колебатель, совершающий МГД, делает то же самое, перетекание энергии между двумя формами.
- Сложив их, мы получаем полное число, которое никогда не меняется.
Две энергии, меняющиеся местами
- На краях колебатель на мгновение останавливается: вся энергия потенциальная ($\tfrac12 kx^2$).
- В центре он движется быстрее всего: вся энергия кинетическая ($\tfrac12 mv^2$).
- Между этими точками энергия распределена между обеими формами.
- Обмен повторяется каждые полпериода навсегда (при отсутствии трения).
Наблюдайте за обменом потенциальной и кинетической энергией
Пройдите через колебание и наблюдайте, как потенциальная и кинетическая энергия обмениваются местами, пока полная остается неизменной.
Где в размахе вся энергия является кинетической?
В центре скорость максимальна и $x = 0$, поэтому вся энергия кинетическая.
Полная энергия постоянна
- Полная механическая энергия колебателя без трения фиксирована на уровне $E = \tfrac12 kA^2$.
- Она зависит от квадрата амплитуды — чем больше размах, тем больше запас энергии.
- В любой момент времени $\tfrac12 kx^2 + \tfrac12 mv^2 = \tfrac12 kA^2$.
- Закон сохранения энергии, примененный к колебаниям, связывает все движение воедино.
Пружина с жёсткостью $k = 200\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ колеблется с амплитудой $0.1\ \text{m}$. Какова полная энергия в джоулях?
$E = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 (200)(0.01) = 1\ \text{J}$.
Полная энергия осциллятора без трения равна $\tfrac12 k \_\_$ (заполните пропуск).
$E = \tfrac12 kA^2$ — определяется квадратом амплитуды.
Выберите все верные утверждения об энергии в незатухающих МСВ.
Полная энергия остается неизменной, пока потенциальная (на концах) и кинетическая (в центре) обмениваются местами в противоположных точках.
Затухание отводит энергию
- Реальные колебатели теряют энергию на трение и сопротивление воздуха — это затухание.
- Амплитуда медленно уменьшается, так как механическая энергия превращается в тепло.
- Слабо затухающие качели замедляются после многих колебаний; сильно затухающие почти не раскачиваются.
- Незатухающее МГД (с постоянной амплитудой) — это идеал, с которым мы сравниваем реальные системы.
Если вы удвоите амплитуду осциллятора, его полная энергия станет:
$E = \tfrac12 kA^2 \propto A^2$, поэтому удвоение $A$ дает энергию в четыре раза больше.
Затухание вызывает медленное уменьшение амплитуды реального осциллятора со временем.
Затухание преобразует механическую энергию в тепло, поэтому амплитуда убывает из цикла в цикл.
Полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды ($E = \tfrac12 kA^2$), а не самой амплитуде. Увеличьте амплитуду вдвое, и вы увеличите энергию в четыре раза. Кинетическая и потенциальная энергии максимальны в разных точках траектории — никогда одновременно.
Пружина с $k = 200\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ колеблется с амплитудой $A = 0.1\ \text{m}$.
- Полная энергия $E = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 (200)(0.1^2) = \tfrac12 (200)(0.01) = 1\ \text{J}$.
В центре эта энергия полностью кинетическая; на краях — полностью потенциальная, но всегда равна $1\ \text{J}$.
При МГД энергия перетекает между кинетической ($\tfrac12 mv^2$, максимум в центре) и потенциальной ($\tfrac12 kx^2$, максимум на краях). Сумма постоянна, $E = \tfrac12 kA^2$ — пропорциональна квадрату амплитуды. Реальные колебатели теряют энергию из-за затухания.