Скаляры и векторы
| English | Русский |
|---|---|
| distance/ˈdɪstəns/ | расстояние |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | перемещение |
| scalar/ˈskeɪlə/ | скаляр |
| vector/ˈvektə/ | векторное |
| density/ˈdensɪti/ | плотность |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | результирующая |
| component/kəmˈpəʊnənt/ | компонент |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
Куда идти?
- Идите $3\ \text{km}$ туда и $3\ \text{km}$ обратно: вы проходите $6\ \text{km}$, но заканчиваете там же, откуда начали.
- Расстояние равно $6\ \text{km}$; перемещение равно $0$.
- Разница заключается в направлении — и именно в этом суть всего.
Скалярные и векторные величины
- Скалярная величина имеет только числовое значение (величину).
- Векторная величина имеет как числовое значение, так и направление.
SI-приставки увеличиваются с шагом в тысячу: от пико до гига
Разложение сил на склоне
Вес тела на склоне раскладывается на компонент вдоль склона (mg·sinθ) и перпендикулярный ему (mg·cosθ); блок скользит, когда mg·sinθ превышает силу трения.
Скаляры и векторы
равнодействующая = a + b
Вектор имеет направление; сложите два вектора последовательно (конец первого к началу второго), чтобы получить результирующий.
Вы идете $4\ \text{km}$ на восток, затем $4\ \text{km}$ обратно на запад. Каково ваше перемещение в км?
Перемещение — это вектор — от начала до конца пути. Вы вернулись в исходную точку, поэтому оно равно $0$. Пройденный путь равен $8\ \text{km}$.
Как различить?
- Скаляры: масса, время, температура, энергия, работа, мощность, расстояние, скорость, плотность.
- Векторы: перемещение, скорость, ускорение, сила (включая вес), импульс.
Выберите все величины, которые являются векторами.
Векторы имеют направление: перемещение, скорость, сила и импульс. Масса, энергия и скорость — скаляры (скорость — это модуль скорости, без направления).
Что из перечисленного является векторами? Выберите все подходящие варианты.
Энергия — скаляр, поэтому кинетические энергии просто складываются при столкновении, тогда как импульсы должны складываться как векторы со знаками.
Быстрая проверка
- Спросите: «В каком направлении?»
- Вопрос «В каком направлении температура?» бессмысленен → температура — это скаляр.
- Вопрос «В каком направлении скорость?» имеет смысл → скорость — это вектор.
Температура — это вектор.
Нельзя спросить «в каком направлении температура?», поэтому она является скаляром.
Векторы изображаются стрелками
- Изобразите вектор в виде стрелки.
- Его длина (в масштабе) показывает величину; его направление указывает на ориентацию в пространстве.
Вектор — это стрелка: её длина в масштабе равна величине, а направление стрелки указывает ориентацию
Сложение векторов: конец к началу
- Начертите стрелки конец к началу (конец одной к началу другой).
- Результирующий вектор идёт от начала первой стрелки к концу последней.
Две силы действуют в точке: $3\ \text{N}$ на восток и $4\ \text{N}$ на север. Каков модуль результирующей силы?
Они перпендикулярны, поэтому $|R| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\ \text{N}$.
Вычитание векторов
- Чтобы найти $\vec{X} - \vec{Y}$, прибавьте обратное к $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$.
- Обратный вектор имеет тот же размер, но направлен в противоположную сторону.
Чтобы найти $\vec{X} - \vec{Y}$ графически, используя стрелки, вам нужно:
$\vec{X} - \vec{Y} = \vec{X} + (-\vec{Y})$ — измените знак на $\vec{Y}$ (такого же размера, противоположного направления) и сложите последовательно.
Разложение на составляющие
- Любой вектор раскладывается на две перпендикулярные части.
- Для вектора $v$ под углом $\theta$ к горизонтали: $v_{\text{H}} = v\cos\theta$, $v_{\text{V}} = v\sin\theta$.
Скорость $10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ направлена под углом $60^{\circ}$ к горизонту. Какова её горизонтальная составляющая?
Горизонтальная составляющая $= v\cos\theta = 10 \times \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Расставьте по порядку метод разложения вектора на наклонной плоскости.
Выбор осей вдоль наклонной плоскости делает одну из компонент равной нулю. Ошибка в выборе между синусом и косинусом — самая частая ошибка при работе с векторами.
Сила 50 Н действует под углом 30 градусов к горизонтали. Чему равна её горизонтальная составляющая в Ньютонах?
Угол отсчитывается от горизонтали, поэтому горизонтальная компонента — прилежащий катет: 50 cos 30 = 43.3 Н. Если угол задан относительно ВЕРТИКАЛИ, синус и косинус меняются местами.
На склоне
- На склоне под углом $\theta$ разложите силу тяжести вдоль и поперёк склона.
- Вдоль склона: $W_{\parallel} = W\sin\theta$. Поперёк склона: $W_{\perp} = W\cos\theta$.
На наклонной плоскости под углом $\theta$ часть веса, действующая вдоль плоскости, равна $W$ ____ $\theta$.
Вдоль плоскости $W_{\parallel} = W\sin\theta$; часть, давящая на плоскость, равна $W_{\perp} = W\cos\theta$.
Когда нужно раскладывать?
- Когда вам нужно узнать, какая часть вектора действует в одном направлении.
- Пример: часть силы, тянущей тело по рампе, или вертикальная и горизонтальная составляющие скорости брошенного мяча.
Вы поняли
- Вектор имеет направление, скаляр не имеет (спросите «в каком направлении?»)
- складывайте векторы конец к началу; под прямым углом $|R| = \sqrt{X^{2}+Y^{2}}$
- раскладывайте вектор на $v\cos\theta$ (горизонтальную) и $v\sin\theta$ (вертикальную) составляющие