Barisan dan deret
Diperkenalkan| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | barisan |
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | barisan aritmetika |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | barisan geometri |
| series/ˈsɪəriːz/ | deret |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | beda |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rasio |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | jumlah tak hingga |
Cocokkan aturan dengan barisan
- Menabung jumlah tetap setiap periode menghasilkan barisan aritmatika jika tidak ada perubahan lain. Mengalikan jumlah saat ini dengan faktor tetap menghasilkan barisan geometri.
- Masalah keuangan mungkin mencakup pembayaran tetap, bunga, atau keduanya. Identifikasikan aturannya yang ditentukan daripada mengasumsikan setiap masalah uang adalah geometri.
Sebuah investasi tumbuh sebesar 4% setiap tahun. Termasuk keluarga mana ini?
Persentase adalah faktor, bukan jumlah mutlak, sehingga setiap tahun dikalikan dengan 1.04.
Pertahankan indeks suku secara eksplisit
- Barisan adalah daftar berurutan; deret menjumlahkan sukunya. Aritmatika menggunakan beda umum d dan $u_n=a+(n-1)d$.
- Geometri menggunakan rasio umum r dan $u_n=ar^{n-1}$. Jika nilai awalnya $u_1$, lima perkalian selesai menghasilkan $u_6$; jika model menggunakan waktu n mulai dari nol, tulis konvensi itu.
Aritmatika berbanding geometri
Faktor konstan pada akhirnya akan melampaui jumlah konstan, sebesar apa pun jumlah tersebut.
Sebuah barisan aritmatika dimulai dari 5 dengan beda tetap 3. Berapakah suku ke-10?
u₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32. Sembilan langkah dari suku pertama, bukan sepuluh.
Jumlah berbeda dengan suku
- Total aritmatika menggunakan $S_n=n[2a+(n-1)d]/2$. Total geometri menggunakan $S_n=a(1-r^n)/(1-r)$ untuk $r\ne1$, atau na jika $r=1$.
- Untuk a bukan nol, jumlah hingga tak hingga hanya ada ketika $|r|<1$, menghasilkan $S_\infty=a/(1-r)$. Jika a adalah nol, setiap suku dan jumlah adalah nol.
Untuk suku pertama yang bukan nol, deret geometri memiliki jumlah hingga tak terhingga yang terbatas hanya jika...
Untuk a yang bukan nol, konvergensi mensyaratkan |r| < 1. Ketika |r| ≥ 1, suku-sukunya tidak mendekati nol; jumlah parsial mungkin divergen atau berosilasi, alih-alih selalu bertambah menuju tak hingga positif.
Model penyusutan yang dinyatakan. Nilai awal 80000 unit kehilangan 12% per tahun, tanpa perubahan lain. $V(n)=V_0(1-r)^n$, sehingga $V(5)=80000(0.88)^5=42218.553344$ unit. Ini adalah 42200 dibulatkan ke 100 terdekat, bukan nilai eksak 42200.
Sebuah mesin bernilai 80000 mengalami penurunan 12% per tahun. Berapakah nilainya setelah 5 tahun, dibulatkan ke terdekat 100?
80000 × 0.88⁵ = 42218.553344, yang dibulatkan menjadi 42200 ke terdekat 100. Proporsi yang tersisa dikalikan sebanyak lima kali.
Gunakan jumlah untuk kapasitas gabungan. Baris dengan jumlah 12, 14, 16 dan seterusnya memberikan $u_{15}=40$, tetapi $S_{15}=390$. Lembar 2.1 membandingkan suku individu, total terbatas, dan model matematika horizon tak hingga.
Untuk suku pertama bukan nol, rasio dengan besar setidaknya 1 mencegah konvergensi deret geometri tak hingga. Mereka tidak semuanya menghasilkan jumlah yang tumbuh menuju tak hingga positif: rasio negatif 1 membuat jumlah parsial bergantian. Nyatakan kegagalan konvergensi secara presisi.
Menyusut 12% per tahun selama lima tahun berarti total kehilangan 60%. (Ini pernyataan salah dalam konteks soal contoh).
0.88⁵ = 0.528, sehingga sekitar 47% hilang. Penurunan setiap tahun diterapkan pada jumlah yang lebih kecil daripada sebelumnya.