GAC024 Discrete Mathematics · ⁨GAC024 Matematika Diskrit⁩ — GAC Mathematics · ⁨GAC Matematika⁩ Revision Notes · ⁨Catatan Revisi GAC024 Discrete Mathematics · ⁨GAC024 Matematika Diskrit⁩

4.1

What this module is, and how it is marked · ⁨Apa modul ini, dan bagaimana ia dinilai⁩

English

A repeated set member is counted once, a binary carry may exceed a fixed width, and the fewest-edge route may not have the smallest weight. Discrete mathematics makes those rules explicit.

GAC024 covers sets, counting systems, binary logic, algorithms and networks. Your centre's current brief determines assessment tasks, tools, weights and deadlines. These original practice sheets do not establish official marking rules or a university credit decision.

State the universe, representation width, allowed inputs or graph assumptions before solving. Show enough working for another reader to reproduce the result and distinguish a mathematical model from its real implementation.

Bahasa Indonesia

Anggota himpunan yang berulang dihitung sekali, carry biner mungkin melebihi lebar tetap, dan rute dengan jumlah tepi terkecil mungkin bukan yang memiliki bobot terkecil. Matematika diskrit membuat aturan-aturan tersebut menjadi eksplisit.

GAC024 mencakup himpunan, sistem penghitungan, logika biner, algoritma, dan jaringan. Brief pusat Anda saat ini menentukan tugas penilaian, alat, bobot, dan tenggat waktu. Lembar latihan asli ini tidak menetapkan aturan penilaian resmi atau keputusan kredit universitas.

Nyatakan semesta, lebar representasi, input yang diperbolehkan, atau asumsi grafik sebelum menyelesaikan. Tunjukkan cukup langkah kerja agar pembaca lain dapat mereproduksi hasilnya dan membedakan model matematika dari implementasi nyatanya.

4.1

Sets, relations and functions · ⁨Himpunan, relasi, dan fungsi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Unit 1 of 5 in GAC024 Discrete Mathematics (Level III). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

Module purpose: On completion of this module, students should be able to demonstrate an understanding of the basic principles of discrete mathematics, particularly the utilisation of mathematical logic. They should also be able to demonstrate the application of these skills to practical situations.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC024.1: Demonstrate understanding of the introductory concepts and properties of sets, relations and functions.

Bahasa Indonesia

Unit 1 dari 5 dalam GAC024 Matematika Diskrit (Tingkat III). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam studi mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Tujuan modul: Setelah menyelesaikan modul ini, siswa diharapkan mampu menunjukkan pemahaman tentang prinsip-prinsip dasar matematika diskrit, khususnya pemanfaatan logika matematika. Mereka juga harus mampu menunjukkan penerapan keterampilan tersebut pada situasi praktis.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC024.1: Menunjukkan pemahaman terhadap konsep pendahuluan dan sifat-sifat himpunan, relasi, dan fungsi.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English

A set 集合 is a collection of distinct objects. Order and repetition do not matter.
Union 并集 $A \cup B$ is everything in either; intersection 交集 $A \cap B$ is what is in both; the set complement 补集 is everything in the stated universe but outside the set.
A subset 子集 has all its elements inside another set.
A relation 关系 pairs elements of two sets. A function 函数 is a relation where each input in its stated domain has exactly one output. Different inputs may share an output; an inverse relation is a function only when outputs uniquely identify their inputs.
A Venn diagram 韦恩图 turns a set problem into a picture, and can show the disjoint regions and their counts. Check that those regions add to the supplied universe total.

The inclusion-exclusion principle 容斥原理 subtracts the twice-counted overlap once: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Worked example. subtract an overlap only once

Known: 30 learners, 18 study French, 15 German, and 7 both. The overlap is included in both subject totals.

$$|F\cup G|=|F|+|G|-|F\cap G|=18+15-7=26$$

$$N_{neither}=|U|-|F\cup G|=30-26=4$$

French-only is $18-7=11$ and German-only $15-7=8$. The four disjoint regions sum to 30.

Practice sheet 4.1 includes progressively harder problems and independently checked solutions.

Bahasa Indonesia

Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda. Urutan dan pengulangan tidak penting.
Gabungan $A \cup B$ adalah semua elemen yang ada di salah satunya; irisan $A \cap B$ adalah apa yang ada di keduanya; komplemen himpunan adalah semua elemen dalam semesta yang dinyatakan tetapi berada di luar himpunan.
Subset memiliki semua elemennya di dalam himpunan lain.
Relasi memasangkan elemen dari dua himpunan. Fungsi adalah relasi di mana setiap input dalam domain yang ditentukan memiliki tepat satu output. Input berbeda dapat berbagi output; relasi invers hanya merupakan fungsi jika output secara unik mengidentifikasi inputnya.
Diagram Venn mengubah masalah himpunan menjadi gambar, dan dapat menunjukkan wilayah yang saling lepas beserta jumlahnya. Pastikan wilayah-wilayah tersebut berjumlah sama dengan total semesta yang diberikan.

Prinsip inklusi-eksklusi mengurangi tumpang tindih yang terhitung ganda sekali: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Contoh terpecahkan. kurangi tumpang tindih hanya sekali

Semesta kelas sebanyak 30 dibagi menjadi Prancis-saja 11, keduanya 7, Jerman-saja 8, dan tidak keduanya 4.

Diketahui: 30 peserta didik, 18 belajar Prancis, 15 Jerman, dan 7 keduanya. Tumpang tindih termasuk dalam total masing-masing mata pelajaran.

$$|F\cup G|=|F|+|G|-|F\cap G|=18+15-7=26$$

$$N_{neither}=|U|-|F\cup G|=30-26=4$$

Prancis-saja adalah $18-7=11$ dan Jerman-saja $15-7=8$. Keempat wilayah yang saling lepas berjumlah 30.

Lembar latihan 4.1 mencakup soal yang semakin sulit dan solusi yang diverifikasi secara independen.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
set/set/	set
Union/ˈjuːnɪən/	Gabungan
intersection/ˌɪntəˈsekʃn/	perpotongan
set complement/set ˈkɒmplɪmənt/	komplemen himpunan
subset/ˈsʌbset/	himpunan bagian
relation/rɪˈleɪʃn/	relasi
function/ˈfʌŋkʃn/	fungsi
Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/	diagram Venn
inclusion-exclusion principle/ɪnˈkluːʒn eksˈkluːʒn ˈprɪnsɪpl/	prinsip inklusi-eksklusi
number base/ˈnʌmbə beɪs/	sistem bilangan
Decimal/ˈdesɪml/	Desimal

4.2

Counting systems · ⁨Sistem Penghitungan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Unit 2 of 5 in GAC024 Discrete Mathematics (Level III). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC024.2: Understand the relationships between different counting systems and be able to perform simple binary arithmetic operations.

Bahasa Indonesia

Unit 2 dari 5 dalam GAC024 Matematika Diskrit (Tingkat III). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam studi mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC024.2: Memahami hubungan antara sistem penghitungan yang berbeda dan mampu melakukan operasi aritmatika biner sederhana.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English

A positional number base 进制 b uses digits from zero to b minus one and place weights $b^i$. Decimal 十进制 uses ten, binary 二进制 two, hexadecimal 十六进制 sixteen.
Every digit's value is its place value 位值: in binary the places are 1, 2, 4, 8, 16 and so on.
Hexadecimal is shorthand for binary: one hex digit is exactly four bits, so conversion can group a stated-width binary pattern into four-bit blocks. Leading zeros preserve width while leaving the unsigned value unchanged.

For n unsigned bits, values run from zero to $2^n-1$. Distinguish an unrestricted sum from a stored fixed-width result; a wraparound rule, if explicitly given, keeps the low n bits.

Worked example. place weights determine the decimal value

Known numeral $1101_2$. Use weights from right to left: 1, 2, 4 and 8.

$$V=\sum d_i2^i$$

$$V=1(8)+1(4)+0(2)+1(1)=13$$

The same value is D in hexadecimal. Leading zeros would not change this nonnegative value but can record an intended width.

Practice sheet 4.2 includes progressively harder problems and independently checked solutions.

Bahasa Indonesia

Basis angka posisi b menggunakan digit dari nol hingga b kurang satu dan bobot tempat $b^i$. Desimal menggunakan sepuluh, biner dua, heksadesimal enam belas.
Nilai setiap digit adalah nilai tempat: dalam biner, tempat-tempatnya adalah 1, 2, 4, 8, 16, dan seterusnya.
Heksadesimal adalah singkatan untuk biner: satu digit heksadesimal tepat sama dengan empat bit, sehingga konversi dapat mengelompokkan pola biner dengan lebar tertentu ke dalam blok empat bit. Nol depan mempertahankan lebar sambil tetap nilai tak bernilai tetap.

Untuk n bit tak bernilai, nilainya berkisar dari nol hingga $2^n-1$. Bedakan antara penjumlahan tanpa batas dan hasil yang disimpan dengan lebar tetap; aturan pembalikan, jika disebutkan secara eksplisit, akan menjaga n bit terendah.

Contoh terpecahkan. bobot tempat menentukan nilai desimal

Digit biner 1101 sejajar dengan bobot tempat 8, 4, 2, dan 1.

Angka yang diketahui $1101_2$. Gunakan bobot dari kanan ke kiri: 1, 2, 4, dan 8.

$$V=\sum d_i2^i$$

$$V=1(8)+1(4)+0(2)+1(1)=13$$

Nilai yang sama adalah D dalam heksadesimal. Nol depan tidak akan mengubah nilai positif ini tetapi dapat mencatat lebar yang dimaksud.

Lembar latihan 4.2 mencakup soal yang semakin sulit dan solusi yang diverifikasi secara independen.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
bit/bɪt/	bit

4.3

Binary applications · ⁨Aplikasi Biner⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Unit 3 of 5 in GAC024 Discrete Mathematics (Level III). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC024.2: Understand the relationships between different counting systems and be able to perform simple binary arithmetic operations.

Learning Objective GAC024.5: Use the basic identities of Boolean algebra to analyse logic circuits and understand the basic principles of propositional logic.

Bahasa Indonesia

Unit 3 dari 5 dalam GAC024 Matematika Diskrit (Tingkat III). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam studi mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC024.2: Memahami hubungan antara sistem penghitungan yang berbeda dan mampu melakukan operasi aritmatika biner sederhana.

Tujuan Pembelajaran GAC024.5: Menggunakan identitas dasar aljabar Boolean untuk menganalisis sirkuit logika dan memahami prinsip dasar logika proposisional.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English

Binary arithmetic 二进制运算 adds like decimal, carrying at 2 instead of at 10.
A bit 位 is one binary digit; a byte 字节 is eight.
Boolean algebra 布尔代数 works on true and false with AND, OR and NOT.
A truth table 真值表 lists every Boolean input combination and output. Matching every row proves equivalence for the same finite Boolean inputs; it does not prove physical circuit timing or real-system security.
Logic gates 逻辑门 implement stated operations, and a logic circuit 逻辑电路 connects them. Trace the abstract logic according to its connections and input conventions.

Use inclusive OR and explicit brackets. De Morgan gives $\neg(A\land B)=(\neg A)\lor(\neg B)$. Bitwise NOT inverts only the stated width, not an unspecified infinite representation.

Worked example. an OR output is inverted by NOT

Known: $Y=\neg(A\lor B)$. Inclusive OR is false only when both inputs are false; NOT reverses that result. In row order $(A,B)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$, the output column is 1, 0, 0, 0. De Morgan gives equivalent expression $(\neg A)\land(\neg B)$.

Practice sheet 4.3 includes progressively harder problems and independently checked solutions.

Bahasa Indonesia

Aritmatika biner menjumlahkan seperti desimal, dengan membawa pada 2 bukan pada 10.
Bit adalah satu digit biner; byte adalah delapan.
Aljabar Boolean bekerja pada benar dan salah dengan AND, OR, dan NOT.
Tabel kebenaran mencantumkan setiap kombinasi input dan output Boolean. Mencocokkan setiap baris membuktikan ekuivalensi untuk input Boolean terbatas yang sama; hal itu tidak membuktikan waktu rangkaian fisik atau keamanan sistem nyata.
Gerbang logika mengimplementasikan operasi yang ditentukan, dan sirkuit logika menghubungkannya. Jejakkan logika abstrak sesuai dengan koneksi dan konvensi inputnya.

Gunakan OR inklusif dan tanda kurung eksplisit. De Morgan memberikan $\neg(A\land B)=(\neg A)\lor(\neg B)$. NOT bitwise membalikkan hanya lebar yang ditentukan, bukan representasi tak terbatas yang tidak spesifik.

Contoh terpecahkan. output OR dibalik oleh NOT

Input A dan B masuk ke blok berlabel OR, yang outputnya masuk ke blok berlabel NOT untuk menghasilkan Y.

Diketahui: $Y=\neg(A\lor B)$. OR inklusif hanya salah ketika kedua inputnya salah; NOT membalikkan hasil itu. Dalam urutan baris $(A,B)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$, kolom output adalah 1, 0, 0, 0. De Morgan memberikan ekspresi ekuivalen $(\neg A)\land(\neg B)$.

Lembar latihan 4.3 mencakup soal yang semakin sulit dan solusi yang diverifikasi secara independen.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
binary/ˈbaɪnəri/	biner
hexadecimal/ˌheksəˈdesɪml/	heksadesimal
place value/pleɪs ˈvæljuː/	nilai tempat
Binary arithmetic/ˈbaɪnəri əˈrɪθmətɪk/	Aritmatika biner
byte/baɪt/	byte
Boolean algebra/ˈbuːlɪən ˈældʒɪbrə/	Aljabar Boolean
truth table/truːθ ˈteɪbl/	tabel kebenaran
Logic gates/ˈlɒdʒɪk ɡeɪts/	Gerbang logik
logic circuit/ˈlɒdʒɪk ˈsɜːkɪt/	sirkuit logika

4.4

Algorithms · ⁨Algoritma⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Unit 4 of 5 in GAC024 Discrete Mathematics (Level III). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC024.3: Construct and analyse algorithms and flowcharts for simple mathematical and general procedures.

Bahasa Indonesia

Unit 4 dari 5 dalam GAC024 Matematika Diskrit (Tingkat III). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam studi mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC024.3: Membangun dan menganalisis algoritma serta flowchart untuk prosedur matematis dan umum yang sederhana.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English

An algorithm 算法 describes unambiguous steps for a task. A procedure solving the stated finite task must terminate and give the required result for its allowed inputs.
A flowchart 流程图 draws it: a decision is a diamond, a process a rectangle.
Pseudocode 伪代码 represents its steps without requiring a particular implementation language. State assignment, loop bounds and index conventions before tracing.
Tracing 追踪 an algorithm — a table with one column per variable and one row per step — records its actual updates. A trace checks the chosen input; a claim for all allowed inputs also needs a correctness argument.
Efficiency 效率 matters: a linear search can stop early but may inspect all n items. Binary search repeatedly discards half of an ordered search range; its logarithmic comparison count requires the sorted-data and bound conventions.

Worked example. repeat a remainder step until the second number is zero

Known: start with positive integers a equal to 10 and b equal to 6. While b is nonzero, compute r as a MOD b, then set a to b and b to r. Pairs after complete iterations are (6,4), (4,2), (2,0), giving output 2. Temporary r preserves the remainder before a and b change. Each nonzero remainder is smaller than the previous positive b, supporting termination.

Practice sheet 4.4 includes progressively harder problems and independently checked solutions.

Bahasa Indonesia

Algoritma menggambarkan langkah-langkah tak ambigu untuk suatu tugas. Prosedur yang memecahkan tugas terbatas yang ditentukan harus berakhir dan memberikan hasil yang diperlukan untuk input yang diizinkannya.
Flowchart menggambarkannya: keputusan berupa belah ketupat, proses berupa persegi panjang.
Pseudocode merepresentasikan langkah-langkahnya tanpa memerlukan bahasa implementasi tertentu. Nyatakan penugasan, batas perulangan, dan konvensi indeks sebelum melakukan pelacakan.
Melacak algoritma — tabel dengan satu kolom per variabel dan satu baris per langkah — mencatat pembaruan aktualnya. Pelacakan memeriksa input yang dipilih; klaim untuk semua input yang diizinkan juga memerlukan argumen kebenaran.
Efisiensi penting: pencarian linear dapat berhenti lebih awal tetapi mungkin memeriksa semua item n. Pencarian biner berulang kali membuang setengah dari rentang pencarian yang terurut; jumlah perbandingan logaritmisnya memerlukan data yang diurutkan dan konvensi batas.

Contoh terpecahkan. ulangi langkah sisa hingga angka kedua menjadi nol

Flowchart algoritma Euclidean menguji b sama dengan nol,_page menghitung sisa dan memperbarui pasangan sebelum kembali ke pengujian.

Diketahui: mulai dengan bilangan bulat positif a sama dengan 10 dan b sama dengan 6. Selama b tidak nol, hitung r sebagai a MOD b, lalu tetapkan a menjadi b dan b menjadi r. Pasangan setelah iterasi lengkap adalah (6,4), (4,2), (2,0), memberikan output 2. Sisa sementara r melestarikan sisa sebelum a dan b berubah. Setiap sisa tidak nol lebih kecil dari b positif sebelumnya, mendukung terminasi.

Lembar latihan 4.4 mencakup soal yang semakin sulit dan solusi yang diverifikasi secara independen.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
algorithm/ˈælɡərɪθəm/	algoritma
flowchart/ˈfləʊtʃɑːt/	flowchart
Pseudocode/ˈsuːdəʊkəʊd/	Pseudocode
Tracing/ˈtreɪsɪŋ/	Pelacakan
Efficiency/ɪˈfɪʃənsi/	Efisiensi

4.5

Graphs and networks · ⁨Graf dan Jaringan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Unit 5 of 5 in GAC024 Discrete Mathematics (Level III). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC024.4: Identify the basic types, properties and applications of graphs and trees.

Bahasa Indonesia

Unit 5 dari 5 dalam GAC024 Matematika Diskrit (Tingkat III). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam studi mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC024.4: Mengidentifikasi jenis-jenis dasar, sifat-sifat, dan aplikasi graf dan pohon.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English

A graph 图 is a set of vertices 顶点 joined by edges 边. It models anything with connections: roads, friendships, dependencies.
For a simple undirected graph with no loops or repeated edges, the degree 度 counts incident edges. Every edge contributes two to the total degree sum.
A tree 树 is a connected graph with no cycles, and a finite tree with n vertices has n minus 1 edges. Some hierarchical models use trees, but actual systems can also contain cross-links or cycles.
A shortest path 最短路径 problem asks for the cheapest route between two vertices, by total weight under the stated constraints, rather than by the number of edges alone. A minimum spanning tree instead connects every vertex without cycles and minimises total included edge weight.

Worked example. compare total route weight, not the number of edges

Known edge weights are AB = 2, BC = 3, AC = 8 and CD = 1. The path A-C-D has weight 9, while A-B-C-D has weight 6. Therefore the three-edge path is shorter by weight despite having more edges. The minimum spanning tree for this small network uses AB, BC and CD with total 6; the agreement of totals here does not make the tasks identical.

Practice sheet 4.5 includes progressively harder problems and independently checked solutions.

Bahasa Indonesia

Graf adalah himpunan titik sudut yang terhubung oleh sisi. Ini memodelkan segala sesuatu yang memiliki koneksi: jalan, pertemanan, ketergantungan.
Untuk graf tak berarah sederhana tanpa loop atau sisi berulang, derajat menghitung sisi insiden. Setiap sisi berkontribusi dua terhadap jumlah derajat total.
Pohon adalah graf terhubung tanpa siklus, dan pohon terbatas dengan n titik sudut memiliki n kurang 1 sisi. Beberapa model hierarkis menggunakan pohon, tetapi sistem nyata juga dapat berisi tautan silang atau siklus.
Masalah jalur terpendek meminta rute termurah antara dua titik, berdasarkan total bobot di bawah batasan yang ditetapkan, bukan hanya berdasarkan jumlah sisi. Pohon rentang minimum (minimum spanning tree) sebaliknya menghubungkan setiap titik tanpa siklus dan meminimalkan total bobot sisi yang termasuk.

Contoh terpecahkan. bandingkan total bobot rute, bukan jumlah sisi

Jaringan tak berarah menghubungkan A ke B dengan bobot 2, B ke C dengan 3, A ke C dengan 8, dan C ke D dengan 1.

Bobot sisi yang diketahui adalah AB = 2, BC = 3, AC = 8, dan CD = 1. Rute A-C-D memiliki bobot 9, sedangkan A-B-C-D memiliki bobot 6. Oleh karena itu, jalur tiga-sisi lebih pendek secara bobot meskipun memiliki lebih banyak sisi. Pohon rentang minimum untuk jaringan kecil ini menggunakan AB, BC, dan CD dengan total 6; kesamaan total di sini tidak membuat kedua tugas tersebut identik.

Lembar latihan 4.5 mencakup soal-soal yang semakin sulit dan solusi yang telah diverifikasi secara independen.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
graph/ɡræf/	grafik
vertices/ˈvɜːtɪsiːz/	titik sudut
edges/ˈedʒɪz/	tepian
degree/dɪˈɡriː/	derajat
tree/triː/	pohon
shortest path/ˈʃɔːtɪst pæθ/	jalur terpendek