Direct and inverse proportion · Proportion directe et inverse
| English | Français |
|---|---|
| direct proportion/daɪˈrekt prəˈpɔːʃn/ | proportion directe |
| constant of proportionality/ˈkɒnstənt ɒv prəˌpɔːʃəˈnælɪti/ | constante de proportionnalité |
| inverse proportion/ɪnˈvɜːs prəˈpɔːʃn/ | proportion inverse |
The golden ratio of recipes
- A pancake recipe for 4 needs 200 g flour. How much for 10 people? $200 \div 4 = 50$ g per person, $50 \times 10 = 500$ g.
- That's direct proportion 正比例: double the people, double the flour. The ratio stays the same.
Le ratio doré des recettes
- Une recette de crêpes pour 4 personnes nécessite 200 g de farine. Combien pour 10 personnes ? $200 \div 4 = 50$ g par personne, $50 \times 10 = 500$ g.
- C'est une proportion directe : doubler les personnes, doubler la farine. Le rapport reste constant.
Direct proportion
- $y \propto x$ means $y = kx$ for some constant $k$ (the constant of proportionality 比例常数).
- If $y$ doubles, $x$ doubles too — they scale together.
- Find $k$ from a known pair, then use it.
$y \propto x$, $y = 12$ at $x = 3$. $k = \dfrac{12}{3} = 4$, so $y = 4x$. At $x = 7$: $y = 28$.
Proportionnalité directe
- $y \propto x$ signifie $y = kx$ pour une constante donnée $k$ (la constante de proportionnalité).
- Si $y$ double, $x$ double aussi — ils évoluent ensemble.
- Trouvez $k$ à partir d'une paire connue, puis utilisez-la.
$y \propto x$, $y = 12$ à $x = 3$. $k = \dfrac{12}{3} = 4$, donc $y = 4x$. À $x = 7$ : $y = 28$.
Inverse proportion · Proportion inverse
y = a/x
Inverse proportion: as x doubles, y halves — a reciprocal curve with two asymptotes. · Proportion inverse : quand x double, y diminue de moitié — une courbe réciproque avec deux asymptotes.
y is directly proportional to x, and y = 12 when x = 3. Find y when x = 7. · y est directement proportionnel à x, et y = 12 quand x = 3. Trouver y quand x = 7.
k = 12/3 = 4, so y = 4x; at x = 7, y = 28. · k = 12/3 = 4, donc y = 4x ; à x = 7, y = 28.
You find the constant of proportionality k from a known pair of values. · On trouve la constante de proportionnalité k à partir d'une paire de valeurs connue.
Substitute the known x and y to solve for k, then use the rule. · Substituer les valeurs connues de x et y pour résoudre k, puis utiliser la règle.
Inverse proportion 反比例
- $y \propto \dfrac{1}{x}$ means $y = \dfrac{k}{x}$ — as one rises, the other falls.
- More workers → less time. More speed → less travel time.
Don't confuse the two. Direct: $y$ goes up as $x$ goes up ($y = kx$). Inverse: $y$ goes down as $x$ goes up ($y = k/x$). The graph shapes are very different.
Proportion inverse
- $y \propto \dfrac{1}{x}$ signifie $y = \dfrac{k}{x}$ — alors que l'un monte, l'autre descend.
- Plus de travailleurs → moins de temps. Plus de vitesse → moins de temps de trajet.
Ne pas confondre les deux. Directe : $y$ monte quand $x$ monte ($y = kx$). Inverse : $y$ descend quand $x$ monte ($y = k/x$). Les formes des graphiques sont très différentes.
Inverse proportion y ∝ 1/x means: · Proportion inverse y ∝ 1/x signifie :
Inverse proportion: as x rises, y falls, given by y = k/x. · Proportion inverse : quand x augmente, y diminue, donnée par y = k/x.
y ∝ 1/x, and y = 6 when x = 4. Find y when x = 12. · y ∝ 1/x, et y = 6 quand x = 4. Trouver y quand x = 12.
6 = k/4 → k = 24. At x = 12: y = 24/12 = 2. · 6 = k/4 → k = 24. À x = 12 : y = 24/12 = 2.
Proportion to powers and roots
- Proportion can be to a square, cube, or square root:
- $y \propto x^2$: $y = kx^2$. If $x$ doubles, $y$ quadruples.
- $y \propto \sqrt{x}$: $y = k\sqrt{x}$.
Direct proportion is a straight line through the origin. Non-linear proportion (to a square, cube, or root) curves away.
Proportion aux puissances et racines
- La proportion peut être à un carré, un cube ou une racine carrée :
- $y \propto x^2$ : $y = kx^2$. Si $x$ double, $y$ quadruple.
- $y \propto \sqrt{x}$: $y = k\sqrt{x}$.
La proportionnalité directe est une ligne droite passant par l'origine. La proportionnalité non-linéaire (à un carré, cube ou racine) s'éloigne en courbe.
Worked example
- $y \propto x^2$, and $y = 50$ when $x = 5$. Find $y$ when $x = 8$.
- $50 = k(5^2) = 25k \Rightarrow k = 2$.
- $y = 2(8^2) = 2(64) = 128$.
Exemple résolu
- $y \propto x^2$, et $y = 50$ lorsque $x = 5$. Trouvez $y$ lorsque $x = 8$.
- $50 = k(5^2) = 25k \Rightarrow k = 2$.
- $y = 2(8^2) = 2(64) = 128$.
y ∝ x², and y = 50 when x = 5. Find y when x = 8. · y ∝ x², et y = 50 quand x = 5. Trouver y quand x = 8.
50 = k(25) → k = 2. At x = 8: y = 2(64) = 128. · 50 = k(25) → k = 2. À x = 8 : y = 2(64) = 128.
Match each proportion statement to its equation. · Associez chaque affirmation de proportion à son équation.
Direct: y = kx. Inverse: y = k/x. Proportional to x²: y = kx². Proportional to √x: y = k√x. · Direct : y = kx. Inverse : y = k/x. Proportionnel à x² : y = kx². Proportionnel à √x : y = k√x.
An inverse calculation
- Six equally productive workers take 10 days. With fixed work, $t=k/w$, so $k=tw=10(6)=60$ worker-days.
- Ten workers take $t=60/10=6$ days, assuming equal productivity. Do not use direct proportion: more workers should reduce the time.
Calcul en proportion inverse
- Six travailleurs également productifs mettent 10 jours. Avec un travail fixe, $t=k/w$, soit $k=tw=10(6)=60$ journées-travail.
- Dix travailleurs mettent $t=60/10=6$ jours, en supposant une productivité égale. N'utilisez pas la proportion directe : plus de travailleurs devraient réduire le temps.
Six workers take 10 days. At the same productivity, how many days do 10 workers take? · Six ouvriers mettent 10 jours. À productivité égale, combien de jours mettent 10 ouvriers ?
The fixed work is 60 worker-days; 60 / 10 = 6 days. · Le travail fixe est de 60 jour-ouvrier ; 60 / 10 = 6 jours.
You've got it
- direct: $y = kx$; inverse: $y = \dfrac{k}{x}$
- find $k$ from a known pair, then substitute
- proportion can also be to a square ($kx^2$), cube ($kx^3$), or root ($k\sqrt{x}$)
Vous avez compris
- directe : $y = kx$ ; inverse : $y = \dfrac{k}{x}$
- trouver $k$ à partir d'une paire connue, puis substituer
- la proportion peut aussi être à un carré ($kx^2$), un cube ($kx^3$) ou une racine ($k\sqrt{x}$)