Algebra basics and manipulation · Bases de l'algèbre et manipulation
| English | Français |
|---|---|
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | algèbre |
| variable/ˈveərɪəbl/ | variable |
| substitute/ˈsʌbstɪtjuːt/ | substituer |
| like terms/laɪk tɜːmz/ | termes semblables |
| expanding/ekˈspændɪŋ/ | en expansion |
| factorising/ˈfæktəraɪzɪŋ/ | factorisation |
| difference of two squares/ˈdɪfrəns ɒv tuː skweəz/ | différence de deux carrés |
The language of the unknown
- Al-Khwarizmi, a 9th-century Persian mathematician, wrote the first book on "al-jabr" — restoring and balancing. That's where "algebra 代数" comes from.
- He used words instead of letters. We use letters because they're faster — and because a single letter can stand for any number.
Le langage de l'inconnu
- Al-Khwarizmi, un mathématicien persan du 9e siècle, a écrit le premier livre sur "al-jabr" — restauration et équilibre. C'est d'où vient le mot "algèbre".
- Il utilisait des mots au lieu de lettres. Nous utilisons des lettres car c'est plus rapide — et parce qu'une seule lettre peut représenter n'importe quel nombre.
Algebra manipulation route · Chemin de manipulation algébrique
Follow expression work from collecting terms to solving. · Suivez le traitement de l'expression depuis la collecte de termes jusqu'à la résolution.
Variables 变量 and substitution
- A variable is a letter that stands for a number. Its value can change.
- To substitute 代入 means to replace a letter with a specific number.
- Example: $3x^2 - 2y$ at $x = 4$, $y = 5$: $\;3(4)^2 - 2(5) = 48 - 10 = 38$.
Square first, then multiply. $3x^2$ at $x = 4$ is $3 \times 16 = 48$, not $(3 \times 4)^2 = 144$. Indices apply only to the letter immediately before them.
Collecting like terms: add terms with the same letter
Variables et substitution
- Une variable est une lettre qui représente un nombre. Sa valeur peut changer.
- Substituer signifie remplacer une lettre par un nombre spécifique.
- Exemple : $3x^2 - 2y$ pour $x = 4$, $y = 5$ : $\;3(4)^2 - 2(5) = 48 - 10 = 38$.
Carrer d'abord, puis multiplier. $3x^2$ pour $x = 4$ est $3 \times 16 = 48$, pas $(3 \times 4)^2 = 144$. Les indices ne s'appliquent qu'à la lettre immédiatement devant eux.
Regrouper les termes semblables : additionner les termes avec la même lettre
Find the value of 3x² − 2y when x = 4 and y = 5. · Trouvez la valeur de 3x² − 2y lorsque x = 4 et y = 5.
3 × 4² − 2 × 5 = 3 × 16 − 10 = 48 − 10 = 38.
Collecting like terms 同类项
- Like terms have the same letter(s) raised to the same power(s).
- $2a^2 + 5a^2 = 7a^2$ (same letter, same power — collect them).
- $3x + 2y$ cannot be simplified — different letters.
Regrouper les termes semblables
- Termes semblables ont les mêmes lettre(s) élevée(s) à la/puissance(s).
- $2a^2 + 5a^2 = 7a^2$ (même lettre, même puissance — les regrouper).
- $3x + 2y$ ne peut pas être simplifié — lettres différentes.
Simplify 2a² + 5a² + 3a − a. What is the coefficient of a²? · Simplifiez 2a² + 5a² + 3a − a. Quel est le coefficient de a² ?
2a² + 5a² = 7a²; 3a − a = 2a. The coefficient of a² is 7. · 2a² + 5a² = 7a² ; 3a − a = 2a. Le coefficient de a² est 7.
Expanding 展开 brackets
- Single bracket: $3(2x + 5) = 6x + 15$.
- Double brackets (FOIL): $(2x + 1)(x - 4) = 2x^2 - 8x + x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$.
Quick check. $(x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$. The constant term is $3 \times 5 = 15$.
Développer les parenthèses
- Simple parenthèse : $3(2x + 5) = 6x + 15$.
- Double parenthèse (FOIL) : $(2x + 1)(x - 4) = 2x^2 - 8x + x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$.
Vérification rapide. $(x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$. Le terme constant est $3 \times 5 = 15$.
Expand (2x + 1)(x − 4) = 2x² + bx + c. What is the constant term c? · Développez (2x + 1)(x − 4) = 2x² + bx + c. Quel est le terme constant c ?
(2x+1)(x−4) = 2x² − 8x + x − 4 = 2x² − 7x − 4, so c = −4. · (2x+1)(x−4) = 2x² − 8x + x − 4 = 2x² − 7x − 4, donc c = −4.
(x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15.
x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. ✓
Factorising 因式分解
- Factorising is the reverse of expanding — write as a product.
- Common factor: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$.
- Extended quadratic factorisation: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.
- Extended difference of two squares 平方差: $9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4)$.
Factorising a difference of two squares ($a^2 - b^2$) is like comparing two square areas.
Factoriser
- Factoriser est l'inverse du développement — écrire comme un produit.
- Facteur commun : $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$.
- Factorisation quadratique étendue : $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.
- Différence de deux carrés étendue : $9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4)$.
Factoriser une différence de deux carrés ($a^2 - b^2$) revient à comparer deux aires de carrés.
Factorise the difference of two squares 9x² − 16. · Factorisez la différence de deux carrés 9x² − 16.
a² − b² = (a+b)(a−b), with a = 3x, b = 4. · a² − b² = (a+b)(a−b), avec a = 3x, b = 4.
Match each expression to its factorisation. · Associez chaque expression à sa factorisation.
x²+7x+10: factors of 10 that add to 7 are 2 and 5. x²−9 = x²−3². 6x+9: HCF is 3. x²+4x+4 is a perfect square. · x²+7x+10 : les facteurs de 10 qui s'additionnent à 7 sont 2 et 5. x²−9 = x²−3². 6x+9 : le PGCD est 3. x²+4x+4 est un carré parfait.
You've got it
- substitute numbers for letters; collect like terms
- expand = multiply out brackets; factorise = write as a product
- (Extended) $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ — the difference of two squares
Vous avez compris
- substituer des nombres aux lettres ; regrouper termes semblables
- développer = déplier les parenthèses ; factoriser = écrire comme un produit
- (Étendu) $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ — la différence de deux carrés