Sequences, series and recurrence · Suites, séries et récurrence
| English | Français |
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| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rapport constant |
Does the change add or multiply?
- A saving plan adds ¥30 more each week; a population model grows by 5% each year. Equal differences and equal ratios need different models.
- This lesson studies common ratio 公比: The constant multiplier between consecutive terms of a geometric sequence.
Le changement est-il additif ou multiplicatif ?
- Un plan d'épargne ajoute ¥30 chaque semaine ; un modèle de population croît de 5% chaque année. Des différences égales et des rapports égaux nécessitent des modèles différents.
- Cette leçon étudie le taux commun : Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique.
Choose the mathematical structure
- For an arithmetic progression, u_n=a+(n-1)d and S_n=n(2a+(n-1)d)/2. For a geometric progression, u_n=ar^(n-1) and S_n=a(1-r^n)/(1-r). An infinite geometric sum exists only if |r|<1.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- Pour une progression arithmétique, u_n=a+(n-1)d et S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Pour une progression géométrique, u_n=ar^(n-1) et S_n=a(1-r^n)/(1-r). Une somme géométrique infinie n'existe que si |r|<1.
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines common ratio? · Quelle description définit correctement le rapport commun ?
The constant multiplier between consecutive terms of a geometric sequence. · Le multiplicateur constant entre des termes consécutifs d'une suite géométrique.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 and S_8=8(10+21)/2=124. For a=12,r=1/2, S infinity=12/(1-1/2)=24. For u_(n+1)=2u_n+1 with u_1=1, the next terms are 3,7,15.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Pour a=5, d=3, n=8, on a u_8=5+7×3=26 et S_8=8(10+21)/2=124. Pour a=12, r=1/2, la somme à l'infini est 12/(1-1/2)=24. Pour u_(n+1)=2u_n+1 avec u_1=1, les termes suivants sont 3,7,15.
Sequences, series and recurrence · Suites, séries et récurrence
For an arithmetic progression, u_n=a+(n-1)d and S_n=n(2a+(n-1)d)/2 · Pour une progression arithmétique, u_n=a+(n-1)d et S_n=n(2a+(n-1)d)/2
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare le modèle avec l'exemple résolu et explique un changement.
For a=5,d=3, find u_8. · Pour a=5, d=3, trouver u_8.
u₈=5+(8-1)×3=26.
Test a tempting shortcut
- The first term has index 1, so the exponent is n-1. A sequence is a list; a series is a sum. A geometric sequence can alternate in sign and still converge.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every geometric series has a finite sum to infinity. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- Le premier terme a pour indice 1, donc l'exposant est n-1. Une suite est une liste ; une série est une somme. Une suite géométrique peut alterner en signe tout en convergeant.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Toute série géométrique admet une somme finie à l'infini. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Find the sum of the first 8 terms with a=5,d=3. · Trouver la somme des 8 premiers termes avec a=5, d=3.
S₈=8[2×5+7×3]/2=124.
Every geometric series has a finite sum to infinity. · Toute suite géométrique admet une somme finie à l'infini.
The first term has index 1, so the exponent is n-1. A sequence is a list; a series is a sum. A geometric sequence can alternate in sign and still converge. · Le premier terme a pour indice 1, donc l'exposant est n-1. Une suite est une liste ; une série est une somme. Une suite géométrique peut alterner de signe tout en convergeant.
Interpret a new situation
- Explain whether the context justifies additive or multiplicative change. In finance, distinguish a single deposit from a stream of deposits before choosing a sum formula.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- Expliquez si le contexte justifie un changement additif ou multiplicatif. En finance, distinguez un dépôt unique d'un flux de dépôts avant de choisir une formule de somme.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Find the infinite sum with a=12,r=0.5. · Trouver la somme infinie avec a=12, r=0.5.
Since |r|<1, S∞=12/(1-0.5)=24. · Puisque |r|<1, S∞=12/(1-0.5)=24.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associer chaque partie d'une solution complète à son but.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Une hypothèse justifie le modèle ; une vérification teste le résultat ; l'interprétation le relie à la question.
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- Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The constant multiplier between consecutive terms of a geometric sequence. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
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- Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.