Circle theorems and reasoned proofs · Higher · Théorèmes relatifs aux cercles et démonstrations raisonnées · Supérieur
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| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | quadrilatère cyclique |
Which angles see the same chord?
- Two observers see the same chord from the circle. Their angles are linked by a theorem rather than by the apparent size of the drawing.
- This lesson studies cyclic quadrilateral 圆内接四边形: A quadrilateral whose four vertices lie on one circle.
Quels angles voient la même corde ?
- Deux observateurs voient la même corde du cercle. Leurs angles sont liés par un théorème et non par la taille apparente du dessin.
- Cette leçon étudie le quadrilatère cyclique : Un quadrilatère dont les quatre sommets se trouvent sur un même cercle.
Choose the mathematical structure
- The angle at the centre is twice the angle at the circumference on the same arc. Angles in the same segment are equal. Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°. A radius is perpendicular to a tangent at contact.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- L'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence sur le même arc. Les angles dans le même segment sont égaux. La somme des angles opposés d'un quadrilatère cyclique est de 180°. Un rayon est perpendiculaire à une tangente au point de contact.
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines cyclic quadrilateral? · Quelle description définit correctement un quadrilatère cyclique ?
A quadrilateral whose four vertices lie on one circle. · Un quadrilatère dont les quatre sommets se trouvent sur un même cercle.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
If a central angle is 100°, the corresponding angle at the circumference is 50°. In a cyclic quadrilateral with one angle 112°, its opposite angle is 180-112=68°. A radius meeting a tangent gives 90°, even if the drawing looks oblique.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Si un angle central mesure 100°, l'angle correspondant à la circonférence mesure 50°. Dans un quadrilatère cyclique avec un angle de 112°, son angle opposé est 180-112=68°. Un rayon rencontre une tangente pour former 90°, même si le dessin semble oblique.
Circle theorems and reasoned proofs · Théorèmes relatifs aux cercles et démonstrations raisonnées
The angle at the centre is twice the angle at the circumference on the same arc · L'angle au centre est égal à deux fois l'angle à la circonférence sur le même arc
Choose the theorem from the geometric configuration before calculating the angle. · Choisir le théorème adapté à la configuration géométrique avant de calculer l'angle.
Find the circumference angle corresponding to a 100° central angle. · Trouver l'angle inscrit correspondant à un angle central de 100°.
For the same chord and corresponding arc, centre angle=twice circumference angle: 100/2=50°. · Pour une même corde et l'arc correspondant, angle central = deux fois l'angle inscrit : 100/2=50°.
Test a tempting shortcut
- Identify the same chord and the correct arc before using a theorem. Two visible right angles do not prove a quadrilateral cyclic without a valid converse argument. A diagram need not be to scale.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every quadrilateral has opposite angles summing to 180°. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- Identifiez la même corde et le bon arc avant d'utiliser un théorème. Deux angles droits visibles ne prouvent pas qu'un quadrilatère est cyclique sans argument réciproque valide. Un schéma n'a pas besoin d'être à l'échelle.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Chaque quadrilatère a des angles opposés dont la somme est de 180°. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Find the angle opposite 112° in a cyclic quadrilateral. · Trouver l'angle opposé à 112° dans un quadrilatère cyclique.
Opposite cyclic angles sum to 180°, so 180-112=68°. · Les angles opposés d'un quadrilatère cyclique s'additionnent à 180°, donc 180-112=68°.
Every quadrilateral has opposite angles summing to 180°. · Chaque quadrilatère possède des angles opposés dont la somme est de 180°.
Identify the same chord and the correct arc before using a theorem. Two visible right angles do not prove a quadrilateral cyclic without a valid converse argument. A diagram need not be to scale. · Identifier la même corde et le bon arc avant d'utiliser un théorème. Deux angles droits visibles ne prouvent pas qu'un quadrilatère est cyclique sans argument réciproque valide. Un schéma n'a pas nécessairement à être à l'échelle.
Interpret a new situation
- Write one reason alongside each angle calculation. For the alternate-segment theorem, name the tangent and chord, then identify the angle in the opposite segment. Use auxiliary radii only when they help the proof.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- Écrivez une raison à côté de chaque calcul d'angle. Pour le théorème de l'angle tangent, nommez la tangente et la corde, puis identifiez l'angle dans le segment opposé. Utilisez des rayons auxiliaires uniquement s'ils aident la démonstration.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Find the angle between a radius and its tangent in degrees. · Trouver l'angle entre un rayon et sa tangente en degrés.
A radius and its tangent are perpendicular at contact: 90°. · Un rayon et sa tangente sont perpendiculaires au point de contact : 90°.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associer chaque partie d'une solution complète à son but.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Une hypothèse justifie le modèle ; une vérification teste le résultat ; l'interprétation le relie à la question.
Use this in your course
- 4MA1 · Higher · 4. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A quadrilateral whose four vertices lie on one circle. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Utilisez ceci dans votre cursus
- 4MA1 · Supérieur · 4. Assortissez le niveau cible et la spécification avant d'attribuer les extensions.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Un quadrilatère dont les quatre sommets se trouvent sur un même cercle. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.