Derivatives and stationary points · Dérivées et points stationnaires
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| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | dérivée |
What is the slope at one point?
- A curved road has different slopes at different positions. An average gradient cannot describe every point.
- This lesson studies derivative 导数: The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent.
Quelle est la pente en un point donné ?
- Une route courbe a différentes pentes à différents endroits. Une pente moyenne ne peut décrire chaque point.
- Cette leçon étudie la dérivée : le taux de changement instantané, également appelé pente de la tangente.
Choose the mathematical structure
- For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). A stationary point satisfies dy/dx=0. Check the sign change of the derivative, or the second derivative when it is nonzero, to classify it.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- Pour y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un point stationnaire satisfait dy/dx=0. Vérifiez le changement de signe de la dérivée ou la dérivée seconde lorsqu'elle est non nulle pour la classifier.
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines derivative?
The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. At x=2, the gradient is 9 and y=2. The tangent is y-2=9(x-2). The normal gradient is -1/9.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Pour y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=2, la pente est 9 et y=2. La tangente est y-2=9(x-2). La pente de la normale est -1/9.
Derivatives and stationary points · Dérivées et points stationnaires
For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
Compare the model with the worked case and explain one change.
For y=x³-3x, find dy/dx at x=2.
dy/dx=3x²-3. At x=2 it is 12-3=9.
Test a tempting shortcut
- A derivative gives a gradient, not the ordinate. Evaluate y and dy/dx separately at the supplied x-coordinate; the normal gradient is the negative reciprocal of a nonzero tangent gradient.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A tangent and normal at the same point always have the same gradient. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- Une dérivée donne une pente, pas une ordonnée. Évaluer y et dy/dx séparément à la coordonnée x fournie ; la pente de la normale est l'opposée de l'inverse d'une pente tangente non nulle.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Une tangente et une normale au même point ont toujours la même pente. Cette affirmation est fausse. Expliquer quelle définition ou hypothèse elle viole.
For y=x³-3x, find y at x=2.
Substitute into the original curve: y(2)=8-6=2.
A tangent and normal at the same point always have the same gradient.
A derivative gives a gradient, not the ordinate. Evaluate y and dy/dx separately at the supplied x-coordinate; the normal gradient is the negative reciprocal of a nonzero tangent gradient.
Interpret a new situation
- P1 covers polynomial derivatives, gradients, tangents and normals. Optimization and stationary-point classification are taught in P2; they are not introduced here.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- P1 couvre les dérivées polynomiales, les pentes, les tangentes et les normales. L'optimisation et la classification des points stationnaires sont enseignées dans P2 ; elles ne sont pas introduites ici.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
For y=4x³, find dy/dx at x=2.
The derivative is 12x²; at 2 it is 12×4=48.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use this in your course
- edexcel IAL mathematics; official unit P1. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Utilisez ceci dans votre cursus
- edexcel IAL mathematics ; unité officielle P1. L'enrichissement d'autres unités est identifié dans l'examen du programme ; ce n'est pas une exigence supplémentaire pour un gain financier.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Le taux de variation instantané, aussi appelé la pente d'une tangente. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.