Binomial, normal and Poisson models · Modèles binomial, normal et de Poisson
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| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | valeur attendue |
What makes a count predictable?
- A quality inspector counts defective items. The number is random, but a model can describe its likely range.
- This lesson studies expected value 期望值: The probability-weighted mean of a random variable.
Qu'est-ce qui rend un décompte prévisible ?
- Un inspecteur de qualité compte les articles défectueux. Le nombre est aléatoire, mais un modèle peut décrire sa fourchette probable.
- Cette leçon étudie la valeur espérée : la moyenne pondérée par la probabilité d'une variable aléatoire.
Choose the mathematical structure
- For a discrete random variable, sum the probabilities to 1 and calculate E(X)=sum xP(X=x). For the normal model use z=(x-μ)/σ and calculate an appropriate area.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- Pour une variable aléatoire discrète, additionnez les probabilités jusqu'à 1 et calculez E(X)=somme xP(X=x). Pour le modèle normal, utilisez z=(x-μ)/σ et calculez une aire appropriée.
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines expected value? · Quelle description définit correctement la valeur attendue ?
The probability-weighted mean of a random variable. · La moyenne pondérée par probabilité d'une variable aléatoire.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
If X takes 0,1,2 with probabilities 0.2,0.5,0.3, E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1. Also E(X²)=0+0.5+1.2=1.7, so Var(X)=1.7-1.1²=0.49. For μ=100,σ=15, a value of 130 has z=2.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Si X prend 0,1,2 avec des probabilités 0.2,0.5,0.3, E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1. De plus, E(X²)=0+0.5+1.2=1.7, donc Var(X)=1.7-1.1²=0.49. Pour μ=100, σ=15, une valeur de 130 a z=2.
Binomial, normal and Poisson models · Modèles binomial, normal et de Poisson
For a discrete random variable, sum the probabilities to 1 and calculate E(X)=sum xP(X=x) · Pour une variable aléatoire discrète, additionnez les probabilités à 1 et calculez E(X) = somme xP(X=x).
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare le modèle avec l'exemple résolu et explique un changement.
Find E(X) for values 0,1,2 with probabilities 0.2,0.5,0.3. · Trouver E(X) pour les valeurs 0,1,2 avec les probabilités 0.2,0.5,0.3.
E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1.
Test a tempting shortcut
- Not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it. For a continuous variable, the probability of one exact value is zero. Continuity correction matters when approximating a discrete distribution by a normal one.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A random variable with three possible values must be binomial. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- Tous les comptes ne suivent pas une loi binomiale : modifier p ou introduire une dépendance peut invalider ce modèle. Pour une variable continue, la probabilité d'une valeur exacte est nulle. La correction de continuité est nécessaire lors de l'approximation d'une distribution discrète par une loi normale.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Une variable aléatoire ayant trois valeurs possibles doit être binomiale. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel hypothèse elle viole.
Find its variance. · Trouver sa variance.
E(X²)=1.7, so variance=1.7-1.1²=0.49. · E(X²) = 1.7, donc variance = 1.7 - 1.1² = 0.49.
A random variable with three possible values must be binomial. · Une variable aléatoire ayant trois valeurs possibles doit être binomiale.
Not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it. For a continuous variable, the probability of one exact value is zero. Continuity correction matters when approximating a discrete distribution by a normal one. · Tous les comptages ne sont pas binomiaux : changer p ou introduire une dépendance peut invalider ce modèle. Pour une variable continue, la probabilité d'une valeur exacte est nulle. La correction de continuité est importante lors de l'approximation d'une distribution discrète par une normale.
Interpret a new situation
- S1 includes discrete random variables and the normal distribution. Named binomial and Poisson models are S2 content.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- S1 inclut les variables aléatoires discrètes et la distribution normale. Les modèles nommés binomial et de Poisson font partie du contenu S2.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
For μ=100 and σ=15, find the z-score of 130. · Pour μ=100 et σ=15, trouvez le z-score de 130.
Standardise: z=(130-100)/15=2. · Standardisez : z=(130-100)/15=2.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associer chaque partie d'une solution complète à son but.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Une hypothèse justifie le modèle ; une vérification teste le résultat ; l'interprétation le relie à la question.
Use this in your course
- edexcel IAL further mathematics; official unit S1. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The probability-weighted mean of a random variable. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Utilisez ceci dans votre cursus
- edexcel IAL mathématiques avancées ; unité officielle S1. L'enrichissement hors unité est identifié dans l'examen du périmètre ; ce n'est pas une exigence de « cash-in » supplémentaire.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
La moyenne pondérée par les probabilités d'une variable aléatoire. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.