Integrals, area and accumulation · Intégrales, aire et accumulation
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| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | primitive |
How much change has accumulated?
- A velocity graph tells us motion at an instant. How can we recover the displacement accumulated over time?
- This lesson studies antiderivative 原函数: A function whose derivative equals the given integrand.
Combien de changement s'est accumulé ?
- Un graphique de vitesse nous donne le mouvement à un instant donné. Comment pouvons-nous récupérer le déplacement accumulé au fil du temps ?
- Cette leçon étudie l'antidérivée : une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée.
Choose the mathematical structure
- For n≠-1, the integral of ax^n is ax^(n+1)/(n+1)+C. A definite integral is signed accumulation. Split at sign changes when total area or distance is required.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- Pour n≠-1, l'intégrale de ax^n est ax^(n+1)/(n+1)+C. Une intégrale définie représente une accumulation signée. Séparez les intervalles aux changements de signe si l'aire totale ou la distance est requise.
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines antiderivative? · Quelle description définit correctement une primitive ?
A function whose derivative equals the given integrand. · Une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donné.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For v(t)=3t²-3 over 0≤t≤2, displacement=[t³-3t]_0^2=2. Since v changes sign at t=1, distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. The constants cancel only for a definite integral.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Pour v(t)=3t²-3 sur 0≤t≤2, le déplacement=[t³-3t]_0^2=2. Puisque v change de signe en t=1, la distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Les constantes s'annulent uniquement pour une intégrale définie.
Integrals, area and accumulation · Intégrales, aire et accumulation
For n≠-1, the integral of ax^n is ax^(n+1)/(n+1)+C · Pour n≠-1, l'intégrale de ax^n est ax^(n+1)/(n+1)+C
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare le modèle avec l'exemple résolu et explique un changement.
Find the integral of 3x² from 0 to 2. · Trouver l'intégrale de 3x² entre 0 et 2.
An antiderivative is x³. Subtract its values: 2³-0³=8. · Une primitive est x³. Soustraire ses valeurs : 2³-0³=8.
Test a tempting shortcut
- The integral of 1/x is ln|x|+C, not the power rule with n=-1. Signed area can be zero even when the total enclosed area is positive.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- L'intégrale de 1/x est ln|x|+C, et non la règle des puissances avec n=-1. L'aire signée peut être nulle même lorsque l'aire totale enclose est positive.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Une intégrale définie est toujours égale à l'aire positive totale, même lorsque la courbe traverse l'axe. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
For v=3t²-3, find displacement from t=0 to 2. · Pour v=3t²-3, trouver le déplacement de t=0 à 2.
Displacement=[t³-3t] from 0 to 2=8-6=2. · Déplacement=[t³-3t] entre 0 et 2=8-6=2.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. · Une intégrale définie ne représente pas toujours l'aire totale positive, même lorsque la courbe traverse l'axe.
The integral of 1/x is ln|x|+C, not the power rule with n=-1. Signed area can be zero even when the total enclosed area is positive. · L'intégrale de 1/x est ln|x|+C, et non la règle de puissance avec n=-1. L'aire signée peut être nulle alors que l'aire totale enclose est positive.
Interpret a new situation
- Identify what the integral means and include the correct units. A rate measured per second integrates to the underlying quantity, not to another rate. Differentiate an antiderivative to check it.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- Identifiez ce que signifie l'intégrale et incluez les unités correctes. Une grandeur mesurée par seconde s'intègre en la quantité sous-jacente, pas en une autre grandeur. Dérivez une antidérivée pour vérifier.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
For that motion, find total distance from t=0 to 2. · Pour ce mouvement, trouver la distance totale de t=0 à 2.
Velocity changes sign at t=1. The two positive distances are 2 and 4, giving 6. · La vitesse change de signe en t=1. Les deux distances positives sont 2 et 4, donnant 6.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associer chaque partie d'une solution complète à son but.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Une hypothèse justifie le modèle ; une vérification teste le résultat ; l'interprétation le relie à la question.
Use this in your course
- 7357 · A-level · Q. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A function whose derivative equals the given integrand. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Utilisez ceci dans votre cursus
- 7357 · A-level · Q. Faites correspondre le niveau cible et le programme avant d'attribuer des extensions.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.