Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · Volume avec la méthode des disques : rotation autour de l'axe x ou y
| English | Français |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | disque |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | méthode des disques |
Spin a region into a solid
- Take a region, spin it around an axis, and it sweeps out a solid of revolution.
- Slice perpendicular to the axis and each slice is a thin disc 圆盘 (a coin).
- Add up the disc volumes: the disc method 圆盘法.
- It's the cross-section formula with circular slices.
Faire tourner une région en un solide
- Prendre une région, la faire tourner autour d'un axe, et elle balaye un solide de révolution.
- Trancher perpendiculairement à l'axe et chaque tranche est un mince disque 圆盘 (une pièce de monnaie).
- Additionnez les volumes des disques : la méthode du disque 圆盘法.
- C'est la formule de section transversale avec des tranches circulaires.
Each slice in the disc method is a... · Chaque tranche dans la méthode des disques est un...
Revolving sweeps out circular discs. · La rotation balaye des disques circulaires.
The disc formula
- Each disc is a circle of radius $R$ and thickness $dx$, so its volume is $\pi R^2\,dx$.
- If the region between $y=R(x)$ and the axis is revolved about the $x$-axis:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- The radius $R(x)$ is the distance from the curve to the axis of revolution — here just $f(x)$.
La formule du disque
- Chaque disque est un cercle de rayon $R$ et d'épaisseur $dx$, donc son volume est $\pi R^2\,dx$.
- Si la région entre $y=R(x)$ et l'axe est tournée autour de l'axe des $x$ :
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- Le rayon $R(x)$ est la distance de la courbe à l'axe de rotation — ici simplement $f(x)$.
The profile that spins into discs · Le profil qui tourne en disques
y = a·√x
Revolving $y=\sqrt x$ about the $x$-axis stacks discs of radius $\sqrt x$ — volume $\pi\int R^2\,dx$. · Faire tourner $y=\sqrt x$ autour de l'axe $x$ empile des disques de rayon $\sqrt x$ — volume $\pi\int R^2\,dx$.
Revolving $y=R(x)$ about the $x$-axis, the volume is... · Faire tourner $y=R(x)$ autour de l'axe $x$, le volume est...
Each disc is $\pi R^2\,dx$. · Chaque disque est $\pi R^2\,dx$.
Revolving about the y-axis
- Spin about the $y$-axis instead? Slice horizontally and write the radius in terms of $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Now $R(y)$ is the horizontal distance from the curve $x=g(y)$ to the $y$-axis.
- Same formula, integrated in $y$, with the radius measured sideways.
Rotation autour de l'axe des y
- Tourner autour de l'axe des $y$ ? Coupez horizontalement et exprimez le rayon en fonction de $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Maintenant $R(y)$ est la distance horizontale de la courbe $x=g(y)$ à l'axe des $y$.
- Même formule, intégrée par rapport à $y$, avec le rayon mesuré latéralement.
In the disc method, the radius $R$ is the ____ from the curve to the axis of revolution. · Dans la méthode des disques, le rayon $R$ est la ____ entre la courbe et l'axe de rotation.
Radius = distance to the axis. · Rayon = distance à l'axe.
Revolving about the $y$-axis, you integrate in $y$ using... · Rotation autour de l'axe $y$, vous intégrez en $y$ avec...
Match the variable to the axis: $y$-axis → $R(y)$, integrate in $y$. · Associez la variable à l'axe : axe $y$ → $R(y)$, intégrez en $y$.
The radius is a distance
- The key skill: correctly identify $R$ as the distance from the curve to the axis.
- Revolving about the $x$-axis, a curve $y=f(x)$ gives radius $R=f(x)$ (its height).
- Revolving about the $y$-axis, a curve $x=g(y)$ gives radius $R=g(y)$.
- Square the radius, multiply by $\pi$, and integrate along the axis.
Le rayon est une distance
- Compétence clé : identifier correctement $R$ comme la distance de la courbe à l'axe.
- Rotation autour de l'axe des $x$, une courbe $y=f(x)$ donne un rayon $R=f(x)$ (sa hauteur).
- Rotation autour de l'axe des $y$, une courbe $x=g(y)$ donne un rayon $R=g(y)$.
- Élevez le rayon au carré, multipliez par $\pi$, et intégrez le long de l'axe.
Revolving $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about the $x$-axis ($R^2=x$) gives $V=$ · Faire tourner $y=\sqrt x$ sur $[0,4]$ autour de l'axe $x$ ($R^2=x$) donne $V=$
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
The disc method includes a factor of $\pi$ and squares the radius. · La méthode des disques inclut un facteur de $\pi$ et élève le rayon au carré.
$V=\pi\int R^2$.
Don't forget the $\pi$ and the squaring — the disc method is $\pi\int R^2$, not $\int R$. And match the integration variable to the axis: revolve about the $x$-axis → integrate in $x$ with $R(x)$; about the $y$-axis → integrate in $y$ with $R(y)$. Mixing them is a common slip.
N'oubliez pas le $\pi$ et le carré — la méthode du disque est $\pi\int R^2$, pas $\int R$. Et adaptez la variable d'intégration à l'axe : rotation autour de l'axe des $x$ → intègrez en $x$ avec $R(x)$ ; autour de l'axe des $y$ → intègrez en $y$ avec $R(y)$. Les mélanger est une erreur fréquente.
Revolve the region under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about the $x$-axis.
- Radius $R(x)=\sqrt x$, so $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Each disc is a circle of radius $\sqrt x$ stacked along the $x$-axis.
Faites tourner la région sous $y=\sqrt x$ sur $[0,4]$ autour de l'axe des $x$.
- Rayon $R(x)=\sqrt x$, donc $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Chaque disque est un cercle de rayon $\sqrt x$ empilé le long de l'axe des $x$.
The disc method revolves a region against an axis into circular slices: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ about the $x$-axis, or $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ about the $y$-axis. The radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Never drop the $\pi$ or the square.
La méthode du disque fait tourner une région contre un axe en tranches circulaires : $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ autour de l'axe des $x$, ou $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ autour de l'axe des $y$. Le rayon $R$ est la distance de la courbe à l'axe. Ne jamais omettre le $\pi$ ni le carré.