Finding the Area Between Curves That Intersect at More Than Two Points · Trouver l'aire entre courbes qui se coupent en plus de deux points
| English | Français |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | sous-intervalles |
When the curves keep crossing
- Sometimes two curves cross more than twice, and the "top" curve swaps along the way.
- A single top-minus-bottom integral would then get the sign wrong on part of the region.
- The fix: split the region at each crossing and integrate each piece separately.
- Add the pieces' (positive) areas to get the total.
Quand les courbes continuent de se croiser
- Parfois, deux courbes se croisent plus de deux fois, et la courbe "supérieure" change en cours de route.
- Une seule intégrale de supérieur-moins-inférieur aurait alors le mauvais signe sur une partie de la région.
- La solution : découper la région à chaque croisement et intégrer chaque morceau séparément.
- Additionner les aires (positives) des morceaux pour obtenir le total.
Find every intersection first
- Solve $f(x)=g(x)$ completely — find all the crossing points on the interval, not just the outer two.
- These crossings are the boundaries of the subintervals 子区间 where the ordering is fixed.
- Order them left to right along the $x$-axis.
- Each adjacent pair of crossings frames one piece of the region.
Trouver toutes les intersections d'abord
- Résoudre $f(x)=g(x)$ complètement — trouver tous les points de croisement sur l'intervalle, pas seulement les deux extrêmes.
- Ces croisements sont les limites des sous-intervalles 子区间 où l'ordre est fixe.
- Les ordonner de gauche à droite le long de l'axe $x$.
- Chaque paire adjacente de croisements encadre un morceau de la région.
A cubic crossing a line 3 times · Un cubique croisant une droite 3 fois
y = ax³ + bx
$y=x^3$ and · et $y=x$ cross at $-1,0,1$; the top curve switches at $0$, so the area needs two pieces. · $y=x^3$ et $y=x$ se croisent à $-1,0,1$ ; la courbe supérieure change à $0$, donc l'aire nécessite deux parties.
Where do $y=x^3$ and · et $y=x$ cross? · Où $y=x^3$ et $y=x$ se croisent-ils ?
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
The intersection points divide the region into ____ where the ordering is fixed. · Les points d'intersection divisent la région en ____ où l'ordre est fixe.
On each subinterval one curve is consistently on top. · Sur chaque sous-intervalle, une courbe est constamment au-dessus.
Split where top and bottom switch
- On each subinterval, one curve is consistently on top — test a point to see which.
- Set up a separate integral of (upper $-$ lower) for each subinterval, using the correct top curve there.
- Because the top curve switches between pieces, the integrands differ from piece to piece.
- The full area is the sum of these separate integrals.
Découper là où le dessus et le dessous changent
- Sur chaque sous-intervalle, une courbe est constamment au-dessus — tester un point pour voir laquelle.
- Mettre en place une intégrale séparée de (supérieur $-$ inférieur) pour chaque sous-intervalle, en utilisant la bonne courbe supérieure à cet endroit.
- Comme la courbe supérieure change entre les morceaux, les intégrandes diffèrent d'un morceau à l'autre.
- L'aire totale est la somme de ces intégrales séparées.
You split the region at each intersection because... · On découpe la région à chaque intersection parce que...
Where curves swap, part of the region would count negative. · Lorsque les courbes échangent, une partie de la région compterait négativement.
Using one integral of $f-g$ across all crossings (curves swapping) gives... · Utiliser une seule intégrale de $f-g$ sur toutes les crossings (courbes qui échangent) donne...
Sign-cancellation understates the true area. · L'annulation de signe sous-estime la vraie aire.
Add the absolute areas
- Each subinterval integral, done with the correct top-minus-bottom, is positive.
- Sum them: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Equivalently, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — the absolute gap, integrated.
- Both viewpoints give the same total geometric area.
Additionner les aires absolues
- Chaque intégrale de sous-intervalle, faite avec le bon supérieur-moins-inférieur, est positive.
- Les additionner : $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Ou encore, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — l'écart absolu, intégré.
- Les deux approches donnent la même aire géométrique totale.
For · Pour $y=x^3$ and · et $y=x$ on $[-1,1]$, each piece has area $\tfrac14$. Find the total area. · Pour $y=x^3$ et $y=x$ sur $[-1,1]$, chaque pièce a une aire $\tfrac14$. Trouver l'aire totale.
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Integrating $|f(x)-g(x)|$ over the whole interval gives the same total area as splitting. · Intégrer $|f(x)-g(x)|$ sur tout l'intervalle donne la même aire totale que de découper.
The absolute value handles the switching automatically. · La valeur absolue gère le changement automatiquement.
Do not use one integral of $f-g$ across all crossings — where the curves swap, part of the region contributes a negative value and cancels real area. You must split at every intersection and take upper-minus-lower correctly on each piece (or integrate $|f-g|$). Find all the crossings, not just the endpoints.
Ne pas utiliser une seule intégrale de $f-g$ sur toute la zone des croisements — là où les courbes échangent, une partie de la région contribue par une valeur négative et annule une vraie aire. Il faut découper à chaque intersection et prendre supérieur-moins-inférieur correctement sur chaque morceau (ou intégrer $|f-g|$). Trouver tous les croisements, pas seulement les extrémités.
Area between $y=x^3$ and $y=x$ on $[-1,1]$.
- Crossings: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — three points.
- On $(-1,0)$: $x^3>x$ (test $-0.5$). On $(0,1)$: $x>x^3$ (test $0.5$). The top curve switches at $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Aire entre $y=x^3$ et $y=x$ sur $[-1,1]$.
- Croisements : $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — trois points.
- Sur $(-1,0)$ : $x^3>x$ (tester $-0.5$). Sur $(0,1)$ : $x>x^3$ (tester $0.5$). La courbe supérieure change à $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
When curves intersect more than twice, find all intersection points, split the region into subintervals, and integrate upper minus lower on each (the top curve switches between them). Sum the pieces — equivalently, integrate $|f(x)-g(x)|$. One straight integral of $f-g$ would wrongly cancel area.
Quand les courbes se croisent plus de deux fois, trouver tous les points d'intersection, découper la région en sous-intervalles, et intégrer supérieur moins inférieur sur chacun (la courbe supérieure change entre eux). Additionner les morceaux — ou encore, intégrer $|f(x)-g(x)|$. Une seule intégrale droite de $f-g$ annulerait faussement l'aire.