Finding General Solutions Using Separation of Variables · Trouver des solutions générales par séparation des variables
| English | Français |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | séparable |
Get the $x$'s and $y$'s on opposite sides
- To actually solve a differential equation (not just sketch it), we integrate — but first we sort the variables.
- A differential equation is separable 可分离的 if you can write it so one side has only $y$ and the other only $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ is the tell-tale form: a product of an $x$-part and a $y$-part.
- Then each side can be integrated on its own.
Obtenir les $x$'s et $y$'s de part et d'autre
- Pour véritablement résoudre une équation différentielle (et non simplement l'esquisser), nous intégrons — mais d'abord, nous séparons les variables.
- Une équation différentielle est séparable 可分离的 si vous pouvez l'écrire de sorte qu'un côté n'ait que $y$ et l'autre que $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ est la forme caractéristique : un produit d'une partie $x$ et d'une partie $y$.
- Ensuite, chaque côté peut être intégré indépendamment.
Which equation is separable? · Quelle équation est séparable ?
$xy$ factors as ($x$-part)$\times$($y$-part); a sum does not. · $xy$ se factorise en (partie $x$)$\times$(partie $y$) ; une somme ne se factorise pas.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ is not separable because you cannot split a ____. · $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ n'est pas séparable car on ne peut pas scinder un ____.
Separation needs a product, not a sum. · La séparation nécessite un produit, pas une somme.
Separate the variables
- Treat $\dfrac{dy}{dx}$ as a ratio of differentials and move each variable to its own side.
- From $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: divide by $h(y)$ and multiply by $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Now each side involves only one variable and its differential — ready to integrate.
Séparer les variables
- Traitez $\dfrac{dy}{dx}$ comme un rapport de différentielles et déplacez chaque variable de son propre côté.
- De $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ : divisez par $h(y)$ et multipliez par $dx$ :
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Maintenant, chaque côté ne contient qu'une variable et sa différentielle — prêt à intégrer.
Separating $\dfrac{dy}{dx}=xy$ gives... · Séparer $\dfrac{dy}{dx}=xy$ donne...
Divide by $y$, multiply by $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$. · Divisez par $y$, multipliez par $dx$ : $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
Integrate both sides
- Integrate the left in $y$ and the right in $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Add a single constant $+C$ (one is enough — combine both sides' constants).
- Then solve for $y$ if you can, to get the general solution.
- The result is a family of functions with the constant $C$.
Intégrer les deux côtés
- Intégrez le côté gauche en $y$ et le côté droit en $x$ : $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Ajoutez une seule constante $+C$ (une suffit — regroupez les constantes des deux côtés).
- Puis résolvez pour $y$ si vous le pouvez, pour obtenir la solution générale.
- Le résultat est une famille de fonctions avec la constante $C$.
The general solution is a family · La solution générale est une famille
Solving $\tfrac{dy}{dx}=ay$ gives $y=Ce^{ax}$ — one curve per constant, all fitting the same field. · Résoudre $\tfrac{dy}{dx}=ay$ donne $y=Ce^{ax}$ — une courbe par constante, toutes s'adaptant au même champ.
Integrating $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ gives... · Intégrer $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ donne...
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; add $+C$. · $\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$ ; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$ ; ajoutez $+C$.
Keep the $+C$ (and solve for $y$)
- The constant of integration is what makes this a family — never drop it.
- Often you'll exponentiate or rearrange to isolate $y$; the $C$ transforms but stays.
- Leaving the answer as an implicit relation is fine if $y$ can't be cleanly isolated.
- A later initial condition (lesson 7.7) will nail down $C$.
Garder le $+C$ (et résoudre pour $y$)
- La constante d'intégration est ce qui fait de ceci une famille — ne la supprimez jamais.
- Souvent, vous devrez exponentier ou réarranger pour isoler $y$ ; le $C$ se transforme mais demeure.
- Laisser la réponse comme une relation implicite est acceptable si $y$ ne peut pas être isolé proprement.
- Une condition initiale ultérieure (leçon 7.7) fixera $C$.
You should include the constant $+C$ when solving a differential equation by separation. · Vous devez inclure la constante $+C$ lorsque vous résolvez une équation différentielle par séparation.
The · Le $+C$ gives the general (family of) solutions. · Le $+C$ donne les solutions générales (famille de solutions).
The general solution of $\dfrac{dy}{dx}=xy$ is... · La solution générale de $\dfrac{dy}{dx}=xy$ est...
Exponentiate $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ to get $y=A e^{x^2/2}$. · Exponentiez $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ pour obtenir $y=A e^{x^2/2}$.
Separation works only if the equation factors as (function of $x$) $\times$ (function of $y$). Something like $\frac{dy}{dx}=x+y$ is not separable — you can't split a sum. And don't forget the $+C$ after integrating: without it you have one curve, not the general family.
La séparation ne fonctionne que si l'équation se factorise en (fonction de $x$) $\times$ (fonction de $y$). Quelque chose comme $\frac{dy}{dx}=x+y$ n'est pas séparable — on ne peut pas découpler une somme. Et n'oubliez pas la $+C$ après intégration : sans elle, vous n'avez qu'une courbe, pas la famille générale.
Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (general solution).
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Integrate: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Exponentiate: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (writing $A=e^C$). General solution: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Résolvez $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (solution générale).
- Séparez : $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Intégrez : $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Exponentiez : $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (en écrivant $A=e^C$). Solution générale : $y=A\,e^{x^2/2}$.
Separation of variables solves a separable equation $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: rearrange to $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, integrate both sides (one $+C$), and solve for $y$ to get the general solution. It only works when the equation factors into an $x$-part times a $y$-part.
La séparation des variables résout une équation séparable $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ : réorganisez pour obtenir $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, intégrez les deux côtés (une $+C$), et résolvez pour $y$ afin d'obtenir la solution générale. Cela ne fonctionne que lorsque l'équation se factorise en une partie $x$ multipliée par une partie $y$.