Sketching Slope Fields · Tracer des champs de pentes
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| slope field/sləʊp fiːld/ | champ de pentes |
A map of slopes across the plane
- A differential equation $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ gives a slope at every point.
- Draw a short segment with that slope at each point of a grid, and you get a slope field 斜率场.
- It's a "map" showing which way solution curves must travel everywhere.
- You don't need to solve the equation to draw it — just evaluate the slope.
Une carte des pentes à travers le plan
- Une équation différentielle $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ donne une pente en chaque point.
- Tracez un court segment avec cette pente en chaque point d'une grille, et vous obtenez un champ de pentes 斜率场.
- C'est une « carte » montrant dans quelle direction les courbes de solution doivent voyager partout.
- Vous n'avez pas besoin de résoudre l'équation pour la dessiner — il suffit d'évaluer la pente.
A slope field for dy/dx = ay · Un champ de pentes pour dy/dx = ay
Each dash has slope $\tfrac{dy}{dx}$ at its point — flat near $y=0$ and steeper far away for $\tfrac{dy}{dx}=ay$. · Chaque tiret a une pente de $\tfrac{dy}{dx}$ à son point — plat près de $y=0$ et plus raide loin pour $\tfrac{dy}{dx}=ay$.
A slope field shows, at each point, the... · Un champ de pentes montre, à chaque point, le...
Each dash is the tangent direction there. · Chaque tiret représente la direction tangente à cet endroit.
To draw a slope field you compute slopes only — you do ____ need to solve the equation. · Pour dessiner un champ de pentes, vous calculez uniquement les pentes — vous ne ____ avez pas besoin de résoudre l'équation.
The equation gives the slope directly. · L'équation donne la pente directement.
Compute the slope at each point
- At a grid point $(x,y)$, plug into $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ to get the number — that's the segment's slope.
- Slope $0$ → a horizontal dash; large positive → a steep upward dash; negative → downward.
- Repeat over a lattice of points to fill the field.
- The equation tells you the slope directly; no antiderivative needed.
Calculer la pente à chaque point
- À un point de grille $(x,y)$, injectez dans $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ pour obtenir le nombre — c'est la pente du segment.
- Pente $0$ → un trait horizontal ; grand positif → un trait raide vers le haut ; négatif → vers le bas.
- Répétez sur un réseau de points pour remplir le champ.
- L'équation vous donne la pente directement ; aucune primitive n'est nécessaire.
For · Pour $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, find the slope of the dash at the point $(2,3)$. · Pour $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, trouvez la pente du tiret au point $(2,3)$.
$2+3=5$.
For · Pour $\dfrac{dy}{dx}=xy$, the slope at $(3,2)$ is... · Pour $\dfrac{dy}{dx}=xy$, la pente à $(3,2)$ est...
$xy=3\cdot2=6$ (use both coordinates). · $xy=3\cdot2=6$ (utilisez les deux coordonnées).
Spotting patterns quickly
- If $F$ depends only on $x$: the slope is the same all along a vertical line (columns look identical).
- If $F$ depends only on $y$: the slope is the same all along a horizontal line (rows look identical).
- For $\dfrac{dy}{dx}=y$: slopes grow with height — flat near $y=0$, steep far away.
- Recognizing these patterns speeds up sketching enormously.
Repérer les motifs rapidement
- Si $F$ dépend uniquement de $x$ : la pente est la même le long d'une ligne verticale (les colonnes ont l'aspect identique).
- Si $F$ dépend uniquement de $y$ : la pente est la même le long d'une ligne horizontale (les lignes ont l'aspect identique).
- Pour $\dfrac{dy}{dx}=y$ : les pentes augmentent avec la hauteur — plates près de $y=0$, raides loin de celle-ci.
- Reconnaître ces motifs accélère considérablement le dessin des champs de pentes.
If $\dfrac{dy}{dx}$ depends only on $x$, the dashes in each vertical column are parallel. · Si $\dfrac{dy}{dx}$ dépend uniquement de $x$, les tirets dans chaque colonne verticale sont parallèles.
Same $x$ → same slope down the column. · Même $x$ → même pente vers le bas de la colonne.
Equilibrium lines
- Where $F(x,y)=0$, the slope is $0$ — a row (or curve) of horizontal dashes.
- For $\dfrac{dy}{dx}=y$, that happens at $y=0$: a whole horizontal line of flat segments.
- These lines often mark equilibrium behavior — solutions can level off there.
- They're the easiest points to plot, so start with them.
Lignes d'équilibre
- Là où $F(x,y)=0$, la pente est $0$ — une rangée (ou courbe) de tirets horizontaux.
- Pour $\dfrac{dy}{dx}=y$, cela se produit à $y=0$ : une ligne horizontale entière de segments plats.
- Ces lignes marquent souvent un comportement d'équilibre — les solutions peuvent s'y stabiliser.
- Ce sont les points les plus faciles à tracer, commencez donc par eux.
For · Pour $\dfrac{dy}{dx}=y$, the dashes are horizontal along the line... · Pour $\dfrac{dy}{dx}=y$, les tirets sont horizontaux le long de la ligne...
Slope · Pente $=y=0$ along $y=0$. · Pente $=y=0$ le long de $y=0$.
A slope field shows the differential equation's slopes, not the solution curves themselves. The little segments are tangent directions; a solution is a curve that stays tangent to them. And compute the slope with the point's $(x,y)$, using $y$ too when $F$ depends on it — not just $x$.
Un champ de pentes montre les pentes de l'équation différentielle, et non les courbes solutions elles-mêmes. Les petits segments représentent des directions tangentes ; une solution est une courbe qui reste tangente à ceux-ci. Calculez la pente en utilisant les $(x,y)$ du point, ainsi que $y$ lorsque $F$ en dépend — et pas seulement $x$.
Sketch a few slopes for $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- At $(1,0)$: slope $=1$. At $(2,5)$: slope $=2$. At $(-1,3)$: slope $=-1$.
- Since $F=x$ (no $y$), every point in a vertical column has the same slope.
- Columns of parallel dashes: flat at $x=0$, tilting more as $|x|$ grows.
Esquissez quelques pentes pour $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- À $(1,0)$ : pente $=1$. À $(2,5)$ : pente $=2$. À $(-1,3)$ : pente $=-1$.
- Puisque $F=x$ (sans $y$), chaque point dans une colonne verticale a la même pente.
- Colonnes de tirets parallèles : plates à $x=0$, s'inclinant davantage lorsque $|x|$ augmente.
A slope field draws a short segment of slope $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ at each grid point — a map of tangent directions, no solving needed. Compute the slope at each $(x,y)$; look for patterns (columns match if $F$ depends only on $x$, rows if only on $y$) and horizontal dashes where $F=0$.
Un champ de pentes trace un court segment de pente $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ à chaque point de grille — une carte des directions tangentes, sans résolution nécessaire. Calculez la pente à chaque $(x,y)$ ; repérez les motifs (colonnes identiques si $F$ ne dépend que de $x$, lignes si seulement de $y$) et des tirets horizontaux là où $F=0$.