The Quotient Rule · La règle du quotient
| English | Français |
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| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | Règle du quotient |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | expression rationnelle |
Dividing functions needs care
- Just as products need the Product Rule, quotients need the Quotient Rule 商法则.
- You can't differentiate top and bottom separately and divide — that's wrong.
- The rule handles a rational expression 有理式 $\dfrac{f}{g}$ of two functions.
- Its numerator has a subtraction, so order and signs matter a lot.
Diviser des fonctions demande de la prudence
- Tout comme les produits nécessitent la Règle du produit, les quotients nécessitent la Règle du quotient 商法则.
- Vous ne pouvez pas différentier le numérateur et le dénominateur séparément puis diviser — c'est faux.
- La règle gère une expression rationnelle 有理式 $\dfrac{f}{g}$ de deux fonctions.
- Son numérateur contient une soustraction, donc l'ordre et les signes sont cruciaux.
The rule
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$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Top: "derivative of the top times the bottom, minus the top times derivative of the bottom."
- Bottom: the original denominator, squared.
- A memory hook: "low d-high minus high d-low, over low-squared."
La règle
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$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Haut : "la dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas."
- Bas : le dénominateur original, au carré.
- Un moyen mnémotechnique : "bas dé-haut moins haut dé-bas, sur bas-carré."
The Quotient Rule numerator for $\dfrac{f}{g}$ is... · Le numérateur de la règle du quotient pour $\dfrac{f}{g}$ est...
Numerator is $f'g-fg'$, over $g^2$. · Le numérateur est $f'g-fg'$, sur $g^2$.
In the Quotient Rule, the denominator of the answer is $g$ ____ (to what power?). · Dans la règle du quotient, le dénominateur de la réponse est $g$ ____ (à quelle puissance ?).
The denominator is $g^2$. · Le dénominateur est $g^2$.
Select all · tout true statements about the Quotient Rule. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur la règle du quotient.
$g^2\ge0$ always, so it never flips the sign. · $g^2\ge0$ toujours, donc il n'inverse jamais le signe.
Order is everything
- The numerator is $f'g - fg'$, not $fg' - f'g$ — swapping them flips every sign.
- Always write the $f'g$ term first; that fixes the order and prevents sign slips.
- The denominator $g^2$ is always positive, so it never changes the sign of the answer.
- Keep the pieces labeled: $f,f',g,g'$ before you assemble.
L'ordre est tout
- Le numérateur est $f'g - fg'$, et non $fg' - f'g$ — les inverser change tous les signes.
- Écrivez toujours le terme $f'g$ en premier ; cela fixe l'ordre et évite les erreurs de signe.
- Le dénominateur $g^2$ est toujours positif, il ne change donc jamais le signe de la réponse.
- Gardez les pièces étiquetées : $f,f',g,g'$ avant de assembler.
A rational curve to differentiate · Une courbe rationnelle à dériver
y = a / (x − b)
A quotient like $\dfrac{x^2}{x+1}$ has a slope the Quotient Rule computes — note the vertical asymptote where the denominator is zero. · Un quotient comme $\dfrac{x^2}{x+1}$ a une pente que la règle du quotient calcule — notez l'asymptote verticale où le dénominateur est zéro.
Writing the numerator as $fg' - f'g$ (reversed) gives the same answer. · Écrire le numérateur comme $fg' - f'g$ (inversé) donne la même réponse.
Reversing the order negates the whole numerator — a sign error. · Inverser l'ordre annule le numérateur entier — une erreur de signe.
Differentiate $y=\dfrac{x}{x+1}$. · Dérivez $y=\dfrac{x}{x+1}$.
$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
Sometimes a product is easier
- A quotient $\dfrac{f}{g}$ can be rewritten as a product $f\cdot g^{-1}$ and done with the Product + Power rules.
- For simple denominators this can be quicker: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- But for genuine two-function quotients like $\dfrac{\sin x}{x}$, the Quotient Rule is the clean path.
- Choose whichever avoids the messier algebra.
Parfois un produit est plus simple
- Un quotient $\dfrac{f}{g}$ peut être réécrit comme un produit $f\cdot g^{-1}$ et résolu avec les règles du produit et de puissance.
- Pour les dénominateurs simples, c'est parfois plus rapide : $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- Mais pour les vrais quotients à deux fonctions comme $\dfrac{\sin x}{x}$, la Règle du quotient est le chemin le plus propre.
- Choisissez celle qui évite l'algèbre la plus compliquée.
The quotient $\dfrac{x}{x^2}$ is fastest differentiated by... · Le quotient $\dfrac{x}{x^2}$ est le plus rapidement dérivé par...
$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — simpler than the Quotient Rule here. · $\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — plus simple que la règle du quotient ici.
The Quotient Rule numerator is $f'g - fg'$ — the order and the minus sign are the whole difficulty. Writing $fg' - f'g$ (reversed) negates your answer. And do not forget to square the denominator. Both mistakes are extremely common under time pressure.
Le numérateur de la Règle du quotient est $f'g - fg'$ — l'ordre et le signe moins constituent toute la difficulté. Écrire $fg' - f'g$ (inversé) annule votre réponse. Et n'oubliez pas de mettre le dénominateur au carré. Ces deux erreurs sont extrêmement courantes sous pression temporelle.
Differentiate $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
Dérivez $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
The Quotient Rule: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "low d-high minus high d-low, over low-squared." Keep the numerator's order ($f'g$ first) and square the denominator. For simple cases, rewriting as a product $f g^{-1}$ can be easier.
La Règle du quotient : $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "bas dé-haut moins haut dé-bas, sur bas-carré." Gardez l'ordre du numérateur ($f'g$ en premier) et mettez le dénominateur au carré. Pour les cas simples, la réécriture en produit $f g^{-1}$ peut être plus facile.