Vectors · Vecteurs
| English | Français |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vecteur |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | grandeur |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | vecteur unitaire |
| parallel/ˈpærəlel/ | parallèle |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | intersecter |
| skew/skjuː/ | asymétrie |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculaires |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | produit scalaire |
Navigating in 3D
- GPS satellites track your position in three dimensions. Aircraft navigate using heading, pitch, and roll.
- Vectors 向量 are the mathematics of direction and magnitude 模长 in space — essential for physics, engineering, and computer graphics.
Se déplacer en 3D
- Les satellites GPS localisent votre position dans trois dimensions. Les avions naviguent en utilisant l'azimut, la tangence et le roulis.
- Les vecteurs 向量 sont les mathématiques de la direction et de la grandeur 模长 dans l'espace — essentiels pour la physique, l'ingénierie et les graphismes par ordinateur.
Vectors in 3D
- A vector has size and direction: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
- Magnitude $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$; a unit vector 单位向量 has magnitude 1.
Worked example. $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. Magnitude $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Unit vector $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$.
Forces like wind and water are vectors, with size and direction
Vecteurs en 3D
- Un vecteur a une taille et une direction : $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
- Grandeur $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ; un vecteur unitaire 单位向量 a une grandeur de 1.
Exemple corrigé. $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. Grandeur $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Vecteur unitaire $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$.
Des forces comme le vent et l'eau sont des vecteurs, avec une taille et une direction
What is the magnitude of the vector i + 2j + 2k? · Quelle est la norme du vecteur i + 2j + 2k ?
|v| = √(1² + 2² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3.
Vector equations of lines
- A line through point $\mathbf{a}$ in direction $\mathbf{b}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Lines may be parallel 平行 (same direction), intersect 相交 (share a point), or be skew 异面 (neither).
Skew lines don't intersect and aren't parallel. In 3D, two lines can miss each other entirely — they're not in the same plane. This is impossible in 2D.
Équations vectorielles de droites
- Une droite passant par le point $\mathbf{a}$ dans la direction $\mathbf{b}$ : $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Les droites peuvent être parallèles 平行 (même direction), sécantes 相交 (partagent un point), ou gauches 异面 (ni l'une ni l'autre).
Les droites gauches ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. En 3D, deux droites peuvent se manquer entièrement — elles ne sont pas dans le même plan. C'est impossible en 2D.
The scalar product · Le produit scalaire
a · b = |a||b|cos θ
The · Le dot product measures how much two vectors point the same way — it's zero · zéro when they're perpendicular. · Le produit scalaire mesure dans quelle mesure deux vecteurs pointent dans la même direction — il est nul lorsqu'ils sont perpendiculaires.
The vector equation of a line through point a in direction b is: · L'équation vectorielle d'une droite passant par le point a dans la direction b est :
r = a + tb, where t is a scalar parameter. · r = a + tb, où t est un paramètre scalaire.
In 3D, two lines that don't intersect must be parallel. · En 3D, deux droites qui ne se coupent pas doivent être parallèles.
In 3D, lines can be skew — neither parallel nor intersecting. This is impossible in 2D. · En 3D, les droites peuvent être gauches — ni parallèles ni sécantes. Cela est impossible en 2D.
The scalar (dot) product
- So $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ means the vectors are perpendicular 垂直.
- Use it to find the angle between two vectors: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$.
The scalar product 数量积 gives the angle: a·b = |a||b|cos θ, so cos θ = (a·b)/(|a||b|).
Le produit scalaire (dot product)
- Donc $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ signifie que les vecteurs sont perpendiculaires 垂直.
- Utilisez-le pour trouver l'angle entre deux vecteurs : $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$.
Le produit scalaire 数量积 donne l'angle : a·b = |a||b|cos θ, donc cos θ = (a·b)/(|a||b|).
Find the scalar product (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k). · Trouvez le produit scalaire (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k).
(1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8.
If a·b = 0, the two vectors are perpendicular. · Si a·b = 0, les deux vecteurs sont perpendiculaires.
cos θ = 0 gives θ = 90°, so a zero dot product means the vectors are perpendicular. · cos θ = 0 donne θ = 90°, donc un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont perpendiculaires.
If a·b = 6, |a| = 3, |b| = 4, what is cos θ? · Si a·b = 6, |a| = 3, |b| = 4, quelle est la valeur de cos θ ?
cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 6/(3×4) = 6/12 = 0.5.
Worked example — angle between vectors
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. So $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are perpendicular ($\theta = 90^{\circ}$).
allow_no_figure: Vectors are inherently 3D and difficult to represent clearly in a 2D static diagram — the algebraic notation and worked examples convey the concepts effectively.
- Use position vectors and displacement vectors, and unit vectors; the ratio theorem divides a line in a given ratio.
Exemple corrigé — angle entre des vecteurs
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. Donc $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont perpendiculaires ($\theta = 90^{\circ}$).
allow_no_figure: Les vecteurs sont intrinsèquement 3D et difficiles à représenter clairement dans un diagramme statique 2D — la notation algébrique et les exemples corrigés transmettent efficacement les concepts.
- Utilisez des vecteurs de position et des vecteurs de déplacement, ainsi que des vecteurs unitaires ; le thème du rapport divise une ligne selon un rapport donné.
You've got it
- magnitude $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$; line: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- scalar product $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → perpendicular
Vous avez compris
- grandeur $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ; droite : $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- produit scalaire $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → perpendiculaire