Differentiation (Pure 2) · Dérivation (Pure 2)
| English | Français |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | dérivées standards |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | règle du quotient |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | règle du produit |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | paramétrique |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | implicite |
The derivative that never changes
- The function $e^x$ is unique: its derivative is itself. No other function has this property.
- This makes $e^x$ the foundation of growth models, radioactive decay, and compound interest.
La dérivée qui ne change jamais
- La fonction $e^x$ est unique : sa dérivée est elle-même. Aucune autre fonction n'a cette propriété.
- Cela fait de $e^x$ la base des modèles de croissance, de la désintégration radioactive et des intérêts composés.
Standard derivatives 标准导数
Worked example. $y = e^{3x}$. By the chain rule: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
Dérivées standards 标准导数
Exemple résolu. $y = e^{3x}$. Par la règle de chaîne : $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
The gradient at a point · La pente en un point
gradient = dy/dx · pente = dy/dx
Slide the point — the tangent · tangente slope is the derivative, even for these new standard functions. · Faites glisser le point — la pente de la tangente est la dérivée, même pour ces nouvelles fonctions standards.
The derivative of ln x is 1/x. What is its value at x = 4? · La dérivée de ln x est 1/x. Quelle est sa valeur en x = 4 ?
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25.
The derivative of eˣ is eˣ. What is its value at x = 0? · La dérivée de eˣ est eˣ. Quelle est sa valeur en x = 0 ?
d/dx(eˣ) = eˣ, and e⁰ = 1. · d/dx(eˣ) = eˣ, et e⁰ = 1.
If y = e^(3x), then dy/dx = 3e^(3x). What is dy/dx at x = 0? · Si y = e^(3x), alors dy/dx = 3e^(3x). Quelle est la valeur de dy/dx en x = 0 ?
At x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3. · En x = 0 : dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3.
Product and quotient rules 商法则
- Product rule 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
- Quotient rule: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
The product rule: when both $u$ and $v$ change, the total rate of change has two terms — one for each function changing while the other stays fixed.
Don't forget the product rule. The derivative of $uv$ is NOT $u'v'$. You must use $(uv)' = u'v + uv'$. This is one of the most common mistakes in differentiation.
Règles du produit et du quotient 商法则
- Règle du produit 乘积法则 : $(uv)' = u'v + uv'$.
- Règle du quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
La règle du produit : lorsque $u$ et $v$ changent tous deux, le taux de changement total a deux termes — un pour chaque fonction changeant pendant que l'autre reste fixe.
N'oubliez pas la règle du produit. La dérivée de $uv$ N'EST PAS $u'v'$. Vous devez utiliser $(uv)' = u'v + uv'$. C'est l'une des erreurs les plus courantes en dérivation.
The product rule says (uv)′ equals: · La règle du produit stipule que (uv)′ est égal à :
The product rule: (uv)′ = u′v + uv′. · Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′.
The quotient rule for (u/v)′ is (u′v + uv′)/v². · La règle du quotient pour (u/v)′ est (u′v + uv′)/v².
The quotient rule is (u′v − uv′)/v² (minus, not plus in the numerator). · La règle du quotient est (u′v − uv′)/v² (moins, et non plus au numérateur).
Parametric 参数的 and implicit 隐式的 differentiation
- Parametric: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- Implicit: differentiate every term in $x$, chain-rule the $y$ terms, then solve for $\dfrac{dy}{dx}$.
Dérivation paramétrique 参数的 et implicite 隐式的
- Paramétrique : $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- Implicite : dérivez chaque terme dans $x$, appliquez la règle de chaîne aux termes $y$, puis résolvez pour $\dfrac{dy}{dx}$.
If x = t² and y = t³, then dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. At t = 4, dy/dx = ? · Si x = t² et y = t³, alors dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. En t = 4, dy/dx = ?
At t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6. · En t = 4 : dy/dx = 3(4)/2 = 6.
Worked example — product rule
- $y = x^2 \sin x$. Let $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
Exemple résolu — règle du produit
- $y = x^2 \sin x$. Soit $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
You've got it
- learn: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- product rule $(uv)' = u'v + uv'$; quotient rule $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- parametric: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; implicit: chain-rule the $y$ terms
Vous avez compris
- apprendre : $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$; règle du quotient $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- paramétrique: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; implicite: application de la règle de la chaîne aux termes $y$