Logarithmic and exponential functions · Fonctions logarithmiques et exponentielles
| English | Français |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logarithme |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | lois des logarithmes |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | logarithme népérien |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | forme linéaire |
The number that grows forever
- A bank account doubles every 10 years. After 100 years, it's grown by a factor of $2^{10} = 1024$.
- But what if you want to know: "After how many years will it be worth exactly 500 times the original?" That's a question only logarithms 对数 can answer.
Le nombre qui grandit indéfiniment
- Un compte bancaire double tous les 10 ans. Après 100 ans, il a augmenté d'un facteur de $2^{10} = 1024$.
- Mais si vous voulez savoir : "Après combien d'années vaudra-t-il exactement 500 fois l'original ?" C'est une question que seuls les logarithmes 对数 peuvent répondre.
What is a logarithm?
- A logarithm answers "what power?": if $a^x = y$ then $x = \log_a y$.
- Example: $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$.
Worked example. Solve $3^x = 81$. Since $81 = 3^4$, we get $x = \log_3 81 = 4$.
Earthquake strength is measured on the logarithmic Richter scale
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
- Un logarithme répond à « quelle puissance ? » : si $a^x = y$ alors $x = \log_a y$.
- Exemple : $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$.
Exemple résolu. Résolvez $3^x = 81$. Puisque $81 = 3^4$, nous obtenons $x = \log_3 81 = 4$.
La force des tremblements de terre est mesurée sur l'échelle logarithmique de Richter
Exponential growth · Croissance exponentielle
y = a·bˣ
Change the base b: when b > 1 the curve grows, when 0 < b < 1 it decays · décroît — and it always passes through (0, a). · Changez la base b : quand b > 1 la courbe croît, quand 0 < b < 1 elle décroît — et elle passe toujours par (0, a).
Evaluate log₂(8). · Évaluez log₂(8).
2³ = 8, so log₂(8) = 3. · 2³ = 8, donc log₂(8) = 3.
Solve 2ˣ = 8 for x. · Résoudre 2ˣ = 8 pour x.
2³ = 8, so x = 3 (or x = log₂8 = 3). · 2³ = 8, donc x = 3 (ou x = log₂8 = 3).
The laws of logarithms 对数定律
- The laws of logarithms:
- $\log(mn) = \log m + \log n$,
- $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
- $\log(m^k) = k\log m$.
Logs don't distribute over addition. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. The laws only apply to products, quotients, and powers — not sums.
Populations can grow exponentially when resources are plentiful
Les lois des logarithmes 对数定律
- Les lois des logarithmes :
- $\log(mn) = \log m + \log n$,
- $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
- $\log(m^k) = k\log m$.
Les logs ne se distribuent pas sur l'addition. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. Les lois s'appliquent uniquement aux produits, quotients et puissances — pas aux sommes.
Les populations peuvent croître exponentiellement lorsque les ressources sont abondantes
Which is a correct law of logarithms? · Quelle est une loi correcte des logarithmes ?
log(mn) = log m + log n; and log(m^k) = k log m. · log(mn) = log m + log n ; et log(m^k) = k log m.
log(a + b) = log a + log b.
Logarithms do not distribute over addition. log(a + b) ≠ log a + log b. · Les logarithmes ne se distribuent pas sur l'addition. log(a + b) ≠ log a + log b.
e and ln
- $e^x$ and the natural logarithm 自然对数 $\ln x$ are inverses: $\ln(e^x) = x$ and $e^{\ln x} = x$.
- When the unknown is in the power, take logs of both sides.
$e^x$ and $\ln x$ are inverse functions: their graphs are reflections in the line $y = x$.
e et ln
- $e^x$ et le logarithme naturel 自然对数 $\ln x$ sont des inverses : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$.
- Lorsque l'inconnu est dans la puissance, prenez les logs des deux côtés.
$e^x$ et $\ln x$ sont des fonctions inverses : leurs graphiques sont des réflexions dans la droite $y = x$.
What is ln(e⁵)? · Que vaut ln(e⁵) ?
ln and e are inverses, so ln(e⁵) = 5. · ln et e sont des fonctions réciproques, donc ln(e⁵) = 5.
Linear form 线性形式 and modelling
- Linear form: $y = Ax^n$ becomes $\ln y = \ln A + n\ln x$ — a line with gradient $n$, intercept $\ln A$.
- This lets you find the power law from experimental data by plotting $\ln y$ vs $\ln x$.
- Logarithms and indices (powers) are reverse operations.
Forme linéaire 线性形式 et modélisation
- Forme linéaire : $y = Ax^n$ devient $\ln y = \ln A + n\ln x$ — une droite avec une pente $n$, une ordonnée à l'origine $\ln A$.
- Cela permet de trouver la loi de puissance à partir de données expérimentales en traçant $\ln y$ contre $\ln x$.
- Les logarithmes et les indices (puissances) sont des opérations inverses.
If y = 5x³, then ln y = ln 5 + n ln x. What is n? · Si y = 5x³, alors ln y = ln 5 + n ln x. Quelle est la valeur de n ?
ln(5x³) = ln 5 + 3 ln x, so n = 3 (the power becomes the gradient). · ln(5x³) = ln 5 + 3 ln x, donc n = 3 (la puissance devient le coefficient multiplicateur).
You've got it
- a log answers "what power?"; laws: $\log mn = \log m + \log n$, $\log m^k = k\log m$
- $e^x$ and $\ln x$ are inverses; take logs when the unknown is a power
- linear form: plot $\ln y$ vs $\ln x$ → gradient $n$, intercept $\ln A$
Vous avez compris
- un log répond à « quelle puissance ? » ; lois : $\log mn = \log m + \log n$, $\log m^k = k\log m$
- $e^x$ et $\ln x$ sont des inverses ; prenez les logs lorsque l'inconnu est une puissance
- forme linéaire : tracez $\ln y$ contre $\ln x$ → pente $n$, ordonnée à l'origine $\ln A$