Geometry and Trigonometry · Geometría y trigonometría
| English | Español |
|---|---|
| similarity/ˌsɪmɪˈlærɪti/ | similitud |
| radian/ˈreɪdɪən/ | radián |
A decision before an answer
- A map doubles every length. The represented area grows by four, not two.
- Your goal: Use area, volume and similarity.
Una decisión antes de una respuesta
- Un mapa duplica cada longitud. El área representada crece en cuatro, no en dos.
- Su objetivo: Usar área, volumen y semejanza.
Read the relationship
- Similarity preserves corresponding angles and length ratios. Areas scale by k² and volumes by k³.
- Apply right-triangle ratios and the Pythagorean theorem.
Leer la relación
- La semejanza preserva los ángulos correspondientes y las proporciones de longitudes. Las áreas se escalan por k² y los volúmenes por k³.
- Aplique razones de triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras.
A circle has equation (x−2)²+(y+3)²=25. Centre?
Compare the signs with (x−h)²+(y−k)².
Use the defining rule
- For a right triangle, sin is opposite/hypotenuse, cos adjacent/hypotenuse, and tan opposite/adjacent.
- Use circle equations, arcs and angle relationships.
Usar la regla definitoria
- Para un triángulo rectángulo, el seno es cateto opuesto/hipotenusa, el coseno es cateto adyacente/hipotenusa, y la tangente es cateto opuesto/adyacente.
- Use ecuaciones de círculos, arcos y relaciones angulares.
A cube’s edge doubles. Its volume grows by:
Three independent lengths each double: 2³=8.
Check the conditions
- A circle with centre (h,k) and radius r has (x−h)²+(y−k)²=r².
- Use circle equations, arcs and angle relationships.
A right triangle has legs 6 and 8. c²=6²+8²=100, so c=10. For the angle opposite 6, sin θ=6/10=0.6. A similar triangle enlarged by factor 3 has area nine times the original.
Verificar las condiciones
- Un círculo con centro (h,k) y radio r tiene (x−h)²+(y−k)²=r².
- Use ecuaciones de círculos, arcos y relaciones angulares.
Un triángulo rectángulo tiene catetos 6 y 8. c²=6²+8²=100, por lo tanto c=10. Para el ángulo opuesto a 6, sin θ=6/10=0.6. Un triángulo similar ampliado por un factor 3 tiene un área nueve veces la del original.
For radius 3 and angle 2 radians, arc length is ____.
s=rθ=3×2=6 in the radius unit.
Apply the task format
- A full turn is 360° or 2π radians. Arc length is rθ only when θ is in radians.
- Use circle equations, arcs and angle relationships.
Radius and diameter differ by a factor of two. Using diameter in πr² makes the area four times too large.
Aplicar el formato de la tarea
- Una vuelta completa es 360° o 2 radianes. La longitud de arco es rθ solo cuando θ está en radianes.
- Use ecuaciones de círculos, arcos y relaciones angulares.
El radio y el diámetro difieren en un factor de dos. Usar el diámetro en πr² hace que el área sea cuatro veces demasiado grande.
Which answer fits this case? · ¿Qué respuesta se ajusta a este caso?
Use area, volume and similarity · Usar área, volumen y semejanza
sin θ can exceed 1 in a real right triangle.
The opposite side cannot exceed the hypotenuse.
Keep the distinctions
- similarity 相似 — Equal angles and proportional corresponding lengths.
- radian 弧度 — Angle measure defined by arc length divided by radius.
- Use area, volume and similarity.
- Apply right-triangle ratios and the Pythagorean theorem.
- Use circle equations, arcs and angle relationships.
Mantener las distinciones
- semejanza — Ángulos iguales y longitudes correspondientes proporcionales.
- radian — Medida angular definida por la longitud de arco dividida por el radio.
- Use área, volumen y semejanza.
- Aplique razones de triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras.
- Use ecuaciones de círculos, arcos y relaciones angulares.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
The order follows the stated process; check each stage before the next.