Integrals, area and accumulation · Extension
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| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | antiderivada |
How much change has accumulated?
- A velocity graph tells us motion at an instant. How can we recover the displacement accumulated over time?
- This lesson studies antiderivative 原函数: A function whose derivative equals the given integrand.
¿Cuánto cambio se ha acumulado?
- Una gráfica de velocidad nos indica el movimiento en un instante. ¿Cómo podemos recuperar el desplazamiento acumulado a lo largo del tiempo?
- Esta lección estudia la antiderivada: una función cuya derivada es igual al integrando dado.
Choose the mathematical structure
- Integrate polynomial terms by increasing the power by one and dividing by the new power. Include a constant for an indefinite integral. Evaluate a definite integral by subtracting antiderivative values at the limits.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Elija la estructura matemática
- Integre los términos polinómicos aumentando el exponente en uno y dividiendo por el nuevo exponente. Incluya una constante para una integral indefinida. Evalúe una integral definida restando los valores de las primitivas en los límites.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Which description correctly defines antiderivative?
A function whose derivative equals the given integrand.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For v(t)=3t²-3 over 0≤t≤2, displacement=[t³-3t]_0^2=2. Since v changes sign at t=1, distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. The constants cancel only for a definite integral.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Para v(t)=3t²-3 sobre 0≤t≤2, desplazamiento=[t³-3t]_0^2=2. Como v cambia de signo en t=1, distancia=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Las constantes se cancelan solo para una integral definida.
Integrals, area and accumulation
Integrate polynomial terms by increasing the power by one and dividing by the new power
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the integral of 3x² from 0 to 2.
An antiderivative is x³. Subtract its values: 2³-0³=8.
Test a tempting shortcut
- Use the limits in the specified order. The constant cancels for a definite integral but is needed for an indefinite integral. Total positive area may require splitting at an axis crossing.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Pruebe un atajo tentador
- Use los límites en el orden especificado. La constante se cancela para una integral definida pero es necesaria para una integral indefinida. El área total positiva puede requerir dividirse en un cruce del eje.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Una integral definida siempre es igual al área positiva total, incluso cuando la gráfica cruza el eje. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
For v=3t²-3, find displacement from t=0 to 2.
Displacement=[t³-3t] from 0 to 2=8-6=2.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis.
Use the limits in the specified order. The constant cancels for a definite integral but is needed for an indefinite integral. Total positive area may require splitting at an axis crossing.
Interpret a new situation
- This 9260 Extension lesson uses polynomial integration and area. Logarithmic integrals, substitution, parts and differential equations are outside its scope.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete una situación nueva
- Esta 9260 Lección de ampliación utiliza integración polinómica y área. Las integrales logarítmicas, sustitución, integración por partes y ecuaciones diferenciales están fuera del alcance de esta lección.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
For that motion, find total distance from t=0 to 2.
Velocity changes sign at t=1. The two positive distances are 2 and 4, giving 6.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use this in your course
- 9260 · Extension · 3.3. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A function whose derivative equals the given integrand. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use esto en su curso
- 9260 · Extensión · 3.3. Ajuste el nivel objetivo y la especificación antes de asignar extensiones.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Una función cuya derivada es igual al integrando dado. Elija la relación, muestre el método, verifique sus supuestos e interprete el resultado.