Integrals, area and accumulation
| English | Español |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | antiderivada |
How much change has accumulated?
- A velocity graph tells us motion at an instant. How can we recover the displacement accumulated over time?
- This lesson studies antiderivative 原函数: A function whose derivative equals the given integrand.
¿Cuánto cambio se ha acumulado?
- Una gráfica de velocidad nos indica el movimiento en un instante. ¿Cómo podemos recuperar el desplazamiento acumulado a lo largo del tiempo?
- Esta lección estudia la antiderivada: una función cuya derivada es igual al integrando dado.
Choose the mathematical structure
- For n≠-1, the integral of ax^n is ax^(n+1)/(n+1)+C. A definite integral is signed accumulation. Split at sign changes when total area or distance is required.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Elija la estructura matemática
- Para n≠-1, la integral de ax^n es ax^(n+1)/(n+1)+C. Una integral definida representa una acumulación con signo. Divida los intervalos en cambios de signo cuando se requiera el área total o la distancia.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Which description correctly defines antiderivative?
A function whose derivative equals the given integrand.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For v(t)=3t²-3 over 0≤t≤2, displacement=[t³-3t]_0^2=2. Since v changes sign at t=1, distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. The constants cancel only for a definite integral.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Para v(t)=3t²-3 sobre 0≤t≤2, desplazamiento=[t³-3t]_0^2=2. Como v cambia de signo en t=1, distancia=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Las constantes se cancelan solo para una integral definida.
Integrals, area and accumulation
For n≠-1, the integral of ax^n is ax^(n+1)/(n+1)+C
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the integral of 3x² from 0 to 2.
An antiderivative is x³. Subtract its values: 2³-0³=8.
Test a tempting shortcut
- The integral of 1/x is ln|x|+C, not the power rule with n=-1. Signed area can be zero even when the total enclosed area is positive.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Pruebe un atajo tentador
- La integral de 1/x es ln|x|+C, no la regla de la potencia con n=-1. El área signada puede ser cero incluso cuando el área total encerrada es positiva.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Una integral definida siempre es igual al área positiva total, incluso cuando la gráfica cruza el eje. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
For v=3t²-3, find displacement from t=0 to 2.
Displacement=[t³-3t] from 0 to 2=8-6=2.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis.
The integral of 1/x is ln|x|+C, not the power rule with n=-1. Signed area can be zero even when the total enclosed area is positive.
Interpret a new situation
- Identify what the integral means and include the correct units. A rate measured per second integrates to the underlying quantity, not to another rate. Differentiate an antiderivative to check it.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete una situación nueva
- Identifique qué significa la integral e incluya las unidades correctas. Una tasa medida por segundo se integra en la cantidad subyacente, no en otra tasa. Derive una antiderivada para verificarla.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
For that motion, find total distance from t=0 to 2.
Velocity changes sign at t=1. The two positive distances are 2 and 4, giving 6.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use this in your course
- Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A function whose derivative equals the given integrand. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use esto en su curso
- Análisis y Enfoques SL de primera evaluación-2021 actual. Este es apoyo conceptual redactado; se necesita la guía completa para certificar cada objetivo.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Una función cuya derivada es igual al integrando dado. Elija la relación, muestre el método, verifique sus supuestos e interprete el resultado.