Exponentials, logarithms and modelling · Exponenciales, logaritmos y modelado
| English | Español |
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| half-life/hɑːf laɪf/ | vida media |
Why does a decay model stay positive?
- A medicine concentration falls by the same percentage each hour. A constant subtraction would eventually predict a negative amount.
- This lesson studies half-life 半衰期: The time for a decaying quantity to fall to half its initial value.
¿Por qué un modelo de decaimiento se mantiene positivo?
- La concentración de un medicamento disminuye en el mismo porcentaje cada hora. Una resta constante predeciría eventualmente una cantidad negativa.
- Esta lección estudia vida media: El tiempo para que una cantidad en decaimiento caiga a la mitad de su valor inicial.
Choose the mathematical structure
- For y=Ae^(kt), k is a proportional rate. Taking logs gives ln y=ln A+kt. Logarithms require positive arguments, and log(x+y) is not log x+log y.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Elija la estructura matemática
- Para y=Ae^(kt), k es una tasa proporcional. Tomar logaritmos da ln y=ln A+kt. Los logaritmos requieren argumentos positivos, y log(x+y) no es igual a log x+log y.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Which description correctly defines half-life? · ¿Cuál descripción define correctamente la vida media?
The time for a decaying quantity to fall to half its initial value. · El tiempo para que una cantidad en descomposición caiga a la mitad de su valor inicial.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
If y=80e^(-0.2t), y=40 gives e^(-0.2t)=1/2. Hence t=ln2/0.2≈3.466. For 3^x=20, x=ln20/ln3. Plotting ln y against t linearises this exponential model.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Si y=80e^(-0.2t), y=40 da e^(-0.2t)=1/2. Por lo tanto t=ln2/0.2≈3.466. Para 3^x=20, x=ln20/ln3. Graficar ln y frente a t linealiza este modelo exponencial.
Exponentials, logarithms and modelling · Exponenciales, logaritmos y modelado
For y=Ae^(kt), k is a proportional rate · Para y=Ae^(kt), k es una tasa proporcional
Explain why the half-life depends on 0.2 and not on the initial amount 80. · Explica por qué la vida media depende de 0.2 y no del monto inicial 80.
Solve 2^x=32. · Resuelve 2^x=32.
32=2⁵, so x=5. · 32=2⁵, por lo tanto x=5.
Test a tempting shortcut
- A fitted exponential is a model, not a guarantee. Specify the time units and range of use. A negative k describes decay; a negative starting amount usually contradicts the context.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
For positive x and y, ln(x+y)=ln x+ln y. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Pruebe un atajo tentador
- Un exponencial ajustado es un modelo, no una garantía. Especifica las unidades de tiempo y el rango de uso. Un k negativo describe decaimiento; un valor inicial negativo generalmente contradice el contexto.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Para x e y positivos, ln(x+y)=ln x+ln y. Esta afirmación es falsa. Explica qué definición o suposición viola.
Find ln(e³). · Calcula ln(e³).
The natural logarithm undoes exponentiation: ln(e³)=3. · El logaritmo natural invierte la exponenciación: ln(e³)=3.
For positive x and y, ln(x+y)=ln x+ln y. · Para x e y positivos, ln(x+y)=ln x+ln y.
A fitted exponential is a model, not a guarantee. Specify the time units and range of use. A negative k describes decay; a negative starting amount usually contradicts the context. · Un ajuste exponencial es un modelo, no una garantía. Especifica las unidades de tiempo y el rango de aplicación. Un k negativo describe decaimiento; un monto inicial negativo generalmente contradice el contexto.
Interpret a new situation
- Compare actual observations with the model. Systematic departures may indicate changing conditions. In a report, explain what the rate and initial value mean, rather than giving a bare equation.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete una situación nueva
- Compara las observaciones reales con el modelo. Desviaciones sistemáticas pueden indicar condiciones cambiantes. En un informe, explica qué significan la tasa y el valor inicial, en lugar de dar solo una ecuación.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Find the half-life of 80e^(-0.2t), to three decimal places. · Encuentra la vida media de 80e^(-0.2t), con tres decimales.
Set e^(-0.2t)=1/2. Then t=ln(2)/0.2≈3.466 to three decimal places. · Iguala e^(-0.2t)=1/2. Entonces t=ln(2)/0.2≈3.466 con tres decimales.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Emparejar cada parte de una solución completa con su propósito.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Una suposición justifica el modelo; una comprobación verifica el resultado; la interpretación lo conecta con la pregunta.
Use this in your course
- edexcel IAL mathematics; official unit P3. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The time for a decaying quantity to fall to half its initial value. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use esto en su curso
- matemáticas IAL de Edexcel; unidad oficial P3. El enriquecimiento de otras unidades se identifica en la revisión del alcance; no es un requisito adicional para obtener más créditos.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
El tiempo para que una cantidad en decaimiento caiga a la mitad de su valor inicial. Elige la relación, muestra el método, verifica sus supuestos e interpreta el resultado.