Deduction, contradiction and induction
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| counterexample/ˈkaʊntəreɡzæmpl/ | contraejemplo |
When does a pattern become a proof?
- Checking several integers can suggest a pattern. What turns the pattern into a proof for every integer?
- This lesson studies counterexample 反例: A single valid case that disproves a universal claim.
¿Cuándo se convierte un patrón en una demostración?
- Verificar varios enteros puede sugerir un patrón. ¿Qué convierte ese patrón en una demostración válida para todo entero?
- Esta lección estudia el contraejemplo: Un caso válido único que desmiente una afirmación universal.
Choose the mathematical structure
- A deductive proof starts from stated definitions or assumptions. A counterexample refutes an all-values claim. Induction requires a base case and an implication from n=k to n=k+1; checking successive cases alone is not induction.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Elija la estructura matemática
- Una demostración deductiva parte de definiciones o supuestos establecidos. Un contraejemplo refuta una afirmación universal. La inducción requiere un caso base y una implicación de n=k a n=k+1; verificar casos sucesivos por sí solo no es inducción.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Which description correctly defines counterexample?
A single valid case that disproves a universal claim.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For odd integers 2a+1 and 2b+1, their sum is 2(a+b+1), hence even. The claim n²+n+41 is always prime fails at n=41: the value is 41×43=1763. For 1+...+n=n(n+1)/2, the induction step adds k+1 to the assumed sum.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Para enteros impares 2a+1 y 2b+1, su suma es 2(a+b+1), siendo par. La afirmación de que n²+n+41 es siempre primo falla en n=41: el valor es 41×43=1763. Para 1+...+n=n(n+1)/2, el paso inductivo suma k+1 a la suma asumida.
Deduction, contradiction and induction
A deductive proof starts from stated definitions or assumptions
Distinguish a proof for all integers from one counterexample.
Evaluate n²+n+41 at n=41.
At n=41 the value is 41²+41+41=41×43=1763.
Test a tempting shortcut
- Do not assume the conclusion while proving it. In contradiction, identify the impossible consequence and reject the initial contrary assumption. Induction is not compulsory in AQA 7357; it belongs in its own appropriate further-mathematics scope.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Checking the first ten integers proves a claim for every positive integer. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Pruebe un atajo tentador
- No asuma la conclusión mientras la demuestra. En la contradicción, identifique la consecuencia imposible y rechace la suposición inicial contraria. La inducción no es obligatoria en AQA 7357; pertenece a su propio ámbito adecuado de matemáticas avanzadas.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Comprobar los primeros diez enteros prueba una afirmación para todo entero positivo. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
For 2a+1 and 2b+1 with a=3,b=4, find their sum.
The two odd integers are 7 and 9, whose sum is 16.
Checking the first ten integers proves a claim for every positive integer.
Do not assume the conclusion while proving it. In contradiction, identify the impossible consequence and reject the initial contrary assumption. Induction is not compulsory in AQA 7357; it belongs in its own appropriate further-mathematics scope.
Interpret a new situation
- AQA proof includes deduction, exhaustion and contradiction. IAL P2 introduces exhaustion and counterexample, while P4 introduces contradiction. Keep the method matched to the named unit.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete una situación nueva
- La demostración de AQA incluye deducción, agotamiento y contradicción. IAL P2 introduce agotamiento y contraejemplo, mientras que P4 introduce contradicción. Mantenga el método coincidente con la unidad nombrada.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Find 1+2+...+20.
Pair the endpoints: 20 terms have average 10.5, giving 20×10.5=210.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use this in your course
- edexcel IAL mathematics; official unit P2. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A single valid case that disproves a universal claim. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use esto en su curso
- edexcel IAL matemáticas; unidad oficial P2. El enriquecimiento de otras unidades se identifica en la revisión del alcance; no es un requisito adicional para obtener créditos extra.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Un solo caso válido que desmiente una afirmación universal. Elija la relación, muestre el método, verifique sus supuestos e interprete el resultado.