Mean and SD of Random Variables · Media y desviación estándar de variables aleatorias
| English | Español |
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| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | valor esperado |
| variance/ˈveərɪəns/ | varianza |
The long-run average
- The mean (or expected value 期望值) of a random variable is its long-run average outcome.
- Written $\mu_X$ or $E(X)$ — the balance point of the distribution.
- It's a weighted average: each value weighted by its probability.
- Over many repetitions, the average result closes in on $\mu_X$.
La media a largo plazo
- La media (o valor esperado 期望值) de una variable aleatoria es su resultado promedio a largo plazo.
- Se escribe $\mu_X$ o $E(X)$ — el punto de equilibrio de la distribución.
- Es un promedio ponderado: cada valor se pondera por su probabilidad.
- A lo largo de muchas repeticiones, el resultado promedio converge hacia $\mu_X$.
Computing the mean
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- Multiply each value by its probability, then add them all up.
- The mean need not be a possible value (a "family of $2.5$ kids").
- It's an average, not a prediction of any single trial.
Cálculo de la media
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- Multiplica cada valor por su probabilidad y luego suma todos los resultados.
- La media no tiene que ser un valor posible (una "familia de $2.5$ hijos").
- Es un promedio, no una predicción de cualquier ensayo individual.
Variance and standard deviation
- The variance 方差 $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — the probability-weighted average squared distance from the mean.
- The standard deviation $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ brings it back to the original units.
- Bigger $\sigma_X$ = outcomes are more spread out around the mean.
- Square the deviations, weight by probability, sum, then square-root.
Varianza y desviación estándar
- La varianza 方差 $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — el promedio cuadrático ponderado por probabilidad de la distancia desde la media.
- La desviación estándar $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ la devuelve a las unidades originales.
- Una mayor $\sigma_X$ significa que los resultados están más dispersos alrededor de la media.
- Eleva al cuadrado las desviaciones, pondera por probabilidad, suma y luego toma la raíz cuadrada.
Interpreting the SD
- $\sigma_X$ is the typical distance of an outcome from the mean $\mu_X$.
- Small $\sigma_X$: results cluster tightly near the expected value.
- Large $\sigma_X$: results swing widely from trial to trial.
- Together, $\mu_X$ (center) and $\sigma_X$ (spread) summarize the whole distribution.
Interpretación de la DE
- $\sigma_X$ es la distancia típica de un resultado respecto a la media $\mu_X$.
- Una DE pequeña $\sigma_X$: los resultados se agrupan estrechamente cerca del valor esperado.
- Una DE grande $\sigma_X$: los resultados oscilan ampliamente de un ensayo a otro.
- Juntos, $\mu_X$ (centro) y $\sigma_X$ (dispersión) resumen toda la distribución.
The expected value is a long-run average, not a guaranteed or even possible outcome. $E(X)=2.5$ children means the average over many families, not that any family has $2.5$ kids. And compute the SD from variance: square the deviations first, weight, sum, then take the square root — don't average the raw distances.
El valor esperado es un promedio a largo plazo, no un resultado garantizado ni siquiera posible. $E(X)=2.5$ hijos significa el promedio en muchas familias, no que ninguna familia tenga $2.5$ hijos. Y calcula la DE a partir de la varianza: eleva primero las desviaciones al cuadrado, pondera, suma y luego toma la raíz cuadrada; no promedies las distancias brutas.
A game: win $5$ dollars with probability $0.2$, else win $0$. Let $X$ be the winnings.
- Mean: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ dollar — the long-run average payout.
- Variance: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- SD: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ dollars — typical distance from the $1$ average.
Un juego: gana $5$ dólares con probabilidad $0.2$, de lo contrario gana $0$. Sea $X$ las ganancias.
- Media: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ dólar — el pago promedio a largo plazo.
- Varianza: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- DE: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ dólares — distancia típica respecto al promedio $1$.
The mean (expected value) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ is the long-run average — a probability-weighted average that needn't be a possible value. The variance $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ and standard deviation $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ measure the typical distance of an outcome from $\mu_X$.
La media (valor esperado) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ es el promedio a largo plazo — un promedio ponderado por probabilidad que no necesita ser un valor posible. La varianza $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ y la desviación estándar $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ miden la distancia típica de un resultado respecto a $\mu_X$.
Weighting values by probability · Ponderar valores por probabilidad
The mean is the balance point of this weighted distribution. · La media es el punto de equilibrio de esta distribución ponderada.
X wins 5 with prob 0.2, else 0. Find the mean E(X) = 5(0.2)+0(0.8). · X gana 5 con prob. 0.2, de lo contrario 0. Encuentre la media E(X) = 5(0.2)+0(0.8).
5(0.2) + 0(0.8) = 1.
With mean 1: variance = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). Then find the standard deviation. · Con media 1: varianza = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). Luego encuentre la desviación estándar.
Variance = 3.2 + 0.8 = 4, so SD = √4 = 2. · Varianza = 3.2 + 0.8 = 4, por lo tanto DS = √4 = 2.
The expected value of a random variable must be one of its possible values. · El valor esperado de una variable aleatoria debe ser uno de sus valores posibles.
It's a long-run average — e.g. 2.5 children — need not be attainable. · Es un promedio a largo plazo — p. ej., 2.5 hijos — que no necesariamente es alcanzable.
The standard deviation of a random variable measures... · La desviación estándar de una variable aleatoria mide...
SD = typical spread around the mean. · DS = dispersión típica alrededor de la media.
The mean of a random variable is also called its ___ value (one word). · La media de una variable aleatoria también se llama su valor ___ (una palabra).
Mean = expected value = long-run average. · Media = valor esperado = promedio a largo plazo.