Parametric Functions and Planar Motion · Funciones Paramétricas y Movimiento Planar
| English | Español |
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| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | función paramétrica |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parámetro |
Where is it, right now?
- Throw a ball and it follows a graceful arc through the air.
- To describe that flight, we track its horizontal and vertical positions over time.
- Each is its own function of time — and together they give the ball's location at every moment.
- This is exactly what parametric functions were made for.
¿Dónde está, ahora mismo?
- Lanzas una pelota y esta sigue un arco elegante a través del aire.
- Para describir ese vuelo, rastreamos sus posiciones horizontal y vertical a lo largo del tiempo.
- Cada una es su propia función del tiempo —y juntas dan la ubicación de la pelota en cada instante.
- Esto es exactamente para lo que están diseñadas las funciones paramétricas.
Position over time
- A parametric function 参数方程函数 models motion by giving position $(x(t), y(t))$ at each time.
- The parameter 参数 $t$ is the clock; plug in a time and read off the location.
- Horizontal motion lives in $x(t)$; vertical motion lives in $y(t)$.
- The pair traces the object's path across the plane.
Posición en el tiempo
- Una función paramétrica modela el movimiento al proporcionar la posición $(x(t), y(t))$ en cada instante de tiempo.
- El parámetro $t$ funciona como un reloj; introduce un tiempo y lee la ubicación correspondiente.
- El movimiento horizontal reside en $x(t)$; el movimiento vertical reside en $y(t)$.
- El par trazado representa la trayectoria del objeto sobre el plano.
When parametric functions model motion, the parameter $t$ usually represents… · Cuando las funciones paramétricas modelan un movimiento, el parámetro $t$ generalmente representa…
In a · En una parametric function modeling motion, $t$ is time, and $(x(t), y(t))$ is the object's position then. · En una función paramétrica que modela un movimiento, $t$ es el tiempo, y $(x(t), y(t))$ es la posición del objeto en ese instante.
Splitting the motion
- The great trick is that $x$ and $y$ can be analysed independently.
- A thrown ball moves at a steady horizontal speed while gravity curves its vertical motion.
- So $x(t)$ might be linear while $y(t)$ is a downward parabola.
- Combine them and the ball follows its familiar arc.
Separando el movimiento
- El gran truco es que $x$ e $y$ pueden analizarse de forma independiente.
- Una pelota lanzada se mueve con velocidad horizontal constante mientras la gravedad curva su movimiento vertical.
- Por lo tanto, $x(t)$ puede ser lineal mientras que $y(t)$ es una parábola hacia abajo.
- Al combinarlas, la pelota sigue su familiar arco.
A ball has $x = 3t$ and · y $y = 20t - 5t^2$. What is its height $y$ at $t = 2$? · Una pelota tiene $x = 3t$ y $y = 20t - 5t^2$. ¿Cuál es su altura $y$ en $t = 2$?
$y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$; and $x = 3(2) = 6$, so the ball is at $(6, 20)$. · $y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$; y $x = 3(2) = 6$, por lo que la pelota está en $(6, 20)$.
The object's starting position is found by evaluating $x$ and · y $y$ at $t =$ ____. · La posición inicial del objeto se encuentra evaluando $x$ e $y$ en $t =$ ____.
At $t = 0$ the motion begins, so $(x(0), y(0))$ is the initial position. · En $t = 0$ comienza el movimiento, por lo que $(x(0), y(0))$ es la posición inicial.
Select all · todos true statements about parametric motion. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre el movimiento paramétrico.
A parametric path can curve (like a thrown ball's arc), not just be a line. The other three are correct. · Una trayectoria paramétrica puede curvarse (como el arco de una pelota lanzada), no solo ser una línea. Las otras tres son correctas.
Reading the motion
- The starting point is at $t = 0$: evaluate $x(0)$ and $y(0)$.
- Later times give later positions along the path.
- Where the path is highest, the vertical motion has momentarily stopped rising.
- Following $t$ upward shows the direction of travel.
Interpretando el movimiento
- El punto inicial está en $t = 0$: evalúa $x(0)$ e $y(0)$.
- Los tiempos posteriores proporcionan posiciones posteriores a lo largo de la trayectoria.
- Donde la trayectoria es más alta, el movimiento vertical ha dejado momentáneamente de ascender.
- Seguir a $t$ hacia arriba muestra la dirección del desplazamiento.
A path traced by a parameter · Una trayectoria trazada por un parámetro
As the parameter runs, the point moves and traces out a planar curve. · A medida que el parámetro avanza, el punto se mueve y traza una curva plana.
The horizontal and vertical motions can be analysed separately as $x(t)$ and · y $y(t)$. · Los movimientos horizontal y vertical pueden analizarse por separado como $x(t)$ e $y(t)$.
Splitting motion into independent $x$ and · y $y$ parts is the great strength of the parametric view. · Dividir el movimiento en partes independientes de $x$ e $y$ es la gran fortaleza de la vista paramétrica.
Beyond position
- From the position functions you can ask how fast each coordinate is changing.
- That leads to velocity — the next lesson's rates of change.
- You can also find when the object lands (where $y = 0$ again) or how far it travels.
- Parametric motion turns geometry into a moving story.
Más allá de la posición
- A partir de las funciones de posición, puedes preguntar qué tan rápido cambia cada coordenada.
- Eso nos lleva a la velocidad — los cambios de tasa de la próxima lección.
- También puedes encontrar cuándo cae el objeto (donde $y = 0$ nuevamente) o qué distancia recorre.
- El movimiento paramétrico convierte la geometría en una historia en movimiento.
Do not confuse the path with the motion. The picture of the arc shows the shape, but the parametrization also encodes when the ball is at each point and how fast. Two balls can share a path yet move along it very differently.
No confundas la trayectoria con el movimiento. La imagen del arco muestra la forma, pero la parametrización también codifica cuándo está la pelota en cada punto y qué tan rápido. Dos pelotas pueden compartir una trayectoria y moverse a lo largo de ella de formas muy diferentes.
A ball has $x = 3t$ and $y = 20t - 5t^2$ (metres, seconds).
- At $t = 0$: position $(0, 0)$ — it starts at the origin.
- At $t = 2$: $x = 6$, $y = 40 - 20 = 20$ — it is $6$ m across and $20$ m high.
- It lands when $y = 0$ again: $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ s.
Una pelota tiene $x = 3t$ e $y = 20t - 5t^2$ (metros, segundos).
- En $t = 0$: posición $(0, 0)$ — comienza en el origen.
- En $t = 2$: $x = 6$, $y = 40 - 20 = 20$ — está a $6$ m de ancho y a $20$ m de altura.
- Aterriza cuando $y = 0$ nuevamente: $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ s.
A parametric function models planar motion by giving position $(x(t), y(t))$ at each time, with the parameter $t$ as the clock. Horizontal and vertical motion split into $x(t)$ and $y(t)$, which can be analysed separately and recombined into the path.
Una función paramétrica modela el movimiento planar al proporcionar la posición $(x(t), y(t))$ en cada instante de tiempo, con el parámetro $t$ como el reloj. El movimiento horizontal y vertical se dividen en $x(t)$ e $y(t)$, que pueden analizarse por separado y combinarse nuevamente en la trayectoria.