Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · Volúmenes con Secciones Transversales: Triángulos y Semicírculos
Same idea, different slice shapes
- The volume recipe $V=\int_a^b A(x)\,dx$ works for any cross-section shape — you just need $A(x)$.
- Beyond squares, the AP loves triangular and semicircular cross sections.
- The only new step is the right area formula for that shape, written in terms of the base.
- Get $A(x)$ from geometry, then integrate as before.
Misma idea, diferentes formas de sección transversal
- La receta del volumen $V=\int_a^b A(x)\,dx$ funciona para cualquier forma de sección transversal; solo necesitas $A(x)$.
- Más allá de los cuadrados, el AP adora las secciones transversales triangulares y semicirculares.
- El único paso nuevo es la fórmula de área correcta para esa figura, escrita en términos de la base.
- Obtén $A(x)$ de la geometría, luego integra como antes.
Triangular cross sections
- For an equilateral triangle of side $s$: area $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- For a right isosceles triangle with legs $s$: area $=\dfrac12 s^2$; a general triangle: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Use the base length $s(x)$ (the gap the slice spans) in the correct triangle-area formula.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, then integrate.
Secciones transversales triangulares
- Para un triángulo equilátero de lado $s$: el área es $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- Para un triángulo isósceles rectángulo con catetos $s$: el área es $=\dfrac12 s^2$; para un triángulo general: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Usa la longitud de la base $s(x)$ (el espacio que abarca la rebanada) en la fórmula de área de triángulo correspondiente.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, luego integra.
The base whose slices vary · La base cuyas secciones varían
y = a·√x
The same base region gives different volumes depending on slice shape — only the area constant times $s(x)^2$ changes. · La misma región base produce diferentes volúmenes dependiendo de la forma de la sección transversal — solo cambia el área constante multiplicada por $s(x)^2$.
The area of an equilateral triangle with side $s$ is... · El área de un triángulo equilátero con lado $s$ es...
Equilateral triangle: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$. · Triángulo equilátero: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
Match each cross-section shape to its area constant (times $s^2$). · Empareja cada forma de sección transversal con su constante de área (multiplicada por $s^2$).
Each area is its constant times the base squared. · Cada área es su constante multiplicada por el cuadrado de la base.
Semicircular cross sections
- A semicircle with diameter $s$ has radius $\dfrac{s}{2}$, so its area is $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- The base of the slice is the diameter, so halve it to get the radius before squaring.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Watch that factor: diameter $\to$ radius is a divide-by-two that's easy to skip.
Secciones transversales semicirculares
- Un semicírculo con diámetro $s$ tiene radio $\dfrac{s}{2}$, por lo que su área es $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- La base de la rebanada es el diámetro, así que divídela entre dos para obtener el radio antes de elevar al cuadrado.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Presta atención a ese factor: diámetro $\to$ radio implica dividir entre dos, algo fácil de omitir.
A semicircular cross section has its diameter on the base $s(x)$. Its radius is... · Una sección transversal semicircular tiene su diámetro sobre la base $s(x)$. Su radio es...
Base is the diameter, so radius is half. · La base es el diámetro, así que el radio es la mitad.
For a semicircle whose diameter is the base $s$, you must halve $s$ to get the radius before squaring. · Para un semicírculo cuyo diámetro es la base $s$, debes dividir $s$ entre dos para obtener el radio antes de elevar al cuadrado.
Radius $=s/2$; forgetting this is a common error. · Radio $=s/2$; olvidar esto es un error común.
It's always "area in terms of the base"
- Every one of these is $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Square $\to 1$; equilateral triangle $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; semicircle $\to \tfrac{\pi}{8}$; right isosceles $\to \tfrac12$.
- Find the base $s(x)$ from the region, plug into the shape's area, and integrate.
- The calculus is identical; only the leading constant changes.
Siempre es "área en términos de la base"
- Cada uno de estos es $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Cuadrado $\to 1$; triángulo equilátero $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; semicírculo $\to \tfrac{\pi}{8}$; isósceles rectángulo $\to \tfrac12$.
- Encuentra la base $s(x)$ en la región, sustitúyela en el área de la figura e integra.
- El cálculo es idéntico; solo cambia la constante principal.
Base under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$, semicircular slices: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Then $V=$ · Base bajo $y=\sqrt x$ en $[0,4]$, secciones semicirculares: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Entonces $V=$
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
Every cross-section volume is $\int_a^b A(x)\,dx$, where $A(x)$ = (shape constant) $\times s(x)$ ____. · Cada volumen de sección transversal es $\int_a^b A(x)\,dx$, donde $A(x)$ = (constante de forma) $\times s(x)$ ____.
Areas scale with the base squared. · Las áreas escalan con el cuadrado de la base.
For a semicircle, the slice's base is the diameter, so the radius is $\frac{s}{2}$ — don't square the whole base as if it were the radius. And match the triangle formula to the type stated (equilateral vs. right isosceles); they have different constants. The base $s(x)$ is still the gap the slice spans.
Para un semicírculo, la base de la rebanada es el diámetro, así que el radio es $\frac{s}{2}$ — no eleves toda la base al cuadrado como si fuera el radio. Además, iguala la fórmula del triángulo al tipo especificado (equilátero vs. isósceles rectángulo); tienen constantes distintas. La base $s(x)$ sigue siendo el espacio que abarca la rebanada.
Base is the region under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$; cross sections are semicircles with diameter on the base.
- Diameter $s(x)=\sqrt x$, so radius $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
La base es la región bajo $y=\sqrt x$ en $[0,4]$; las secciones transversales son semicírculos con diámetro sobre la base.
- Diámetro $s(x)=\sqrt x$, por lo que el radio es $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
For triangular or semicircular cross sections, use $V=\int_a^b A(x)\,dx$ with the shape's area: equilateral triangle $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, right isosceles $\frac12 s^2$, semicircle $\frac{\pi}{8}s^2$ (base $=$ diameter, so radius $=\frac s2$). Find the base $s(x)$ and integrate.
Para secciones transversales triangulares o semicirculares, use $V=\int_a^b A(x)\,dx$ con el área de la figura: triángulo equilátero $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, isósceles rectángulo $\frac12 s^2$, semicírculo $\frac{\pi}{8}s^2$ (base $=$ diámetro, por lo tanto radio $=\frac s2$). Encuentre la base $s(x)$ e integre.