Differentiating Inverse Functions · Derivando funciones inversas
| English | Español |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | función inversa |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | recíprocas |
Slopes of a function and its mirror
- An inverse function 反函数 $f^{-1}$ undoes $f$: it reflects the graph across the line $y=x$.
- Reflecting swaps the roles of rise and run — so it flips the slope upside down.
- That gives a neat shortcut: you can find the inverse's derivative from the original's.
- Best of all, you often don't need a formula for $f^{-1}$ at all.
Pendientes de una función y su espejo
- Una función inversa 反函数 $f^{-1}$ anula a $f$: refleja la gráfica a través de la recta $y=x$.
- Al reflejar, se intercambian los roles del ascenso y el avance —lo que invierte la pendiente—.
- Esto ofrece un atajo útil: puedes encontrar la derivada de la inversa a partir de la original.
- Lo mejor es que, a menudo, no necesitas ninguna fórmula para $f^{-1}$.
The reciprocal-slope rule
- At matching points, the slopes of $f$ and $f^{-1}$ are reciprocals 互为倒数.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Read it as: the inverse's slope at $x$ is $1$ divided by $f$'s slope at the matching input.
- The matching input is $f^{-1}(x)$ — the point on $f$ that maps to $x$.
La regla de la pendiente recíproca
- En puntos correspondientes, las pendientes de $f$ y $f^{-1}$ son recíprocas 互为倒数.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Se lee así: la pendiente de la inversa en $x$ es $1$ dividido por la pendiente de $f$ en el valor de entrada correspondiente.
- El valor de entrada correspondiente es $f^{-1}(x)$ —el punto en $f$ que mapea hacia $x$—.
The derivative of an inverse is $\big(f^{-1}\big)'(x)=$ · La derivada de una inversa es $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
One over the original derivative at the matching input $f^{-1}(x)$. · Uno sobre la derivada original evaluada en la entrada correspondiente $f^{-1}(x)$.
Evaluate without inverting
- Usually you only need the derivative at one point, and you can skip finding $f^{-1}$.
- Say $f(2)=5$ and $f'(2)=3$. Then the point $(5,2)$ is on $f^{-1}$, so $f^{-1}(5)=2$.
- Apply the rule: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- You never needed a formula — just the matching pair and one derivative value.
Evaluar sin invertir
- Generalmente solo necesitas la derivada en un punto, y puedes omitir hallar $f^{-1}$.
- Supón que $f(2)=5$ y $f'(2)=3$. Entonces el punto $(5,2)$ está en $f^{-1}$, por lo que $f^{-1}(5)=2$.
- Aplica la regla: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- Nunca necesitaste una fórmula; bastó con el par correspondiente y un valor de derivada.
If $f(2)=5$ and · y $f'(2)=4$, find $\big(f^{-1}\big)'(5)$. · Si $f(2)=5$ y $f'(2)=4$, encuentra $\big(f^{-1}\big)'(5)$.
$f^{-1}(5)=2$, so $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$. · $f^{-1}(5)=2$, por lo tanto $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
To compute $\big(f^{-1}\big)'(c)$ at a point, which do you need? · Para calcular $\big(f^{-1}\big)'(c)$ en un punto, ¿qué necesitas?
You need the matching input and $f'$ there (nonzero, so the reciprocal exists) — no full inverse formula. · Necesitas la entrada correspondiente y $f'$ allí (distinta de cero, para que exista el recíproco) — no necesitas una fórmula completa de la inversa.
Why reciprocal? See the reflection
- Reflecting across $y=x$ turns a "rise of $3$ over run of $1$" into a "rise of $1$ over run of $3$."
- So a slope of $3$ becomes a slope of $\tfrac13$ — literally flipped.
- This is why $f$ and $f^{-1}$ have reciprocal slopes at corresponding points.
- (It also warns you: if $f'=0$ at a point, the inverse has a vertical tangent there — its slope is undefined.)
¿Por qué recíproca? Mira la reflexión
- Reflejar sobre $y=x$ convierte un "ascenso de $3$ por avance de $1$" en un "ascenso de $1$ por avance de $3$".
- Así, una pendiente de $3$ se convierte en una pendiente de $\tfrac13$ —literalmente invertida—.
- Por eso $f$ y $f^{-1}$ tienen pendientes recíprocas en puntos correspondientes.
- (Esto también te advierte: si $f'=0$ en un punto, la inversa tiene una tangente vertical allí —su pendiente no está definida—).
A slope and its reciprocal · Una pendiente y su recíproco
y = x³ + 1
Reflecting a curve across $y=x$ flips rise and run — a slope of $3$ becomes $\tfrac13$ on the inverse. · Reflejar una curva a través de $y=x$ invierte el ascenso y el avance — una pendiente de $3$ se convierte en $\tfrac13$ en la inversa.
To find $\big(f^{-1}\big)'(5)$, you evaluate $f'$ at $5$. · Para encontrar $\big(f^{-1}\big)'(5)$, evalúas $f'$ en $5$.
You evaluate $f'$ at the matching input $f^{-1}(5)$, not at $5$. · Evalúas $f'$ en la entrada correspondiente $f^{-1}(5)$, no en $5$.
At corresponding points, the slopes of $f$ and · y $f^{-1}$ are ____ of each other. · En puntos correspondientes, las pendientes de $f$ y $f^{-1}$ son ____ la una de la otra.
Reflection across $y=x$ flips the slope. · La reflexión a través de $y=x$ invierte la pendiente.
If $f'(a)=0$ at the matching input, the inverse at the corresponding point has... · Si $f'(a)=0$ en la entrada correspondiente, la inversa en el punto correspondiente tiene...
Dividing by $0$ is undefined — the reflected tangent is vertical. · Dividir entre $0$ es indefinido — la tangente reflejada es vertical.
Use the derivative of $f$ at the matching input $f^{-1}(x)$, not at $x$ itself. For $\big(f^{-1}\big)'(5)$ you need $f'$ at the input that maps to $5$, i.e. $f'(f^{-1}(5))$, not $f'(5)$. Plugging $5$ straight into $f'$ is the classic error.
Usa la derivada de $f$ en el valor de entrada correspondiente $f^{-1}(x)$, no en $x$ mismo. Para $\big(f^{-1}\big)'(5)$ necesitas $f'$ en el valor que mapea hacia $5$, es decir, $f'(f^{-1}(5))$, no $f'(5)$. Sustituir $5$ directamente en $f'$ es el error clásico.
$f(x)=x^3+1$ has $f(1)=2$ and $f'(x)=3x^2$. Find $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- The matching input: $f^{-1}(2)=1$ (since $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
$f(x)=x^3+1$ cumple $f(1)=2$ y $f'(x)=3x^2$. Encuentra $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- Valor de entrada correspondiente: $f^{-1}(2)=1$ (pues $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
The derivative of an inverse function is the reciprocal of the original's derivative at the matching point: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Reflection across $y=x$ swaps rise and run, flipping the slope. You can evaluate it at a point using just a matching pair — no formula for $f^{-1}$ required.
La derivada de una función inversa es el recíproco de la derivada original en el punto correspondiente: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. La reflexión sobre $y=x$ intercambia el ascenso y el avance, invirtiendo la pendiente. Puedes evaluarla en un punto usando solo un par correspondiente —sin necesidad de una fórmula para $f^{-1}$—.