Kinetic theory of gases · Teoría cinética de los gases
| English | Español |
|---|---|
| kinetic theory/kɪˈnetɪk ˈθɪəri/ | teoría cinética |
| random motion/ˈrændəm ˈməʊʃn/ | movimiento aleatorio |
| elastic/ɪˈlæstɪk/ | elástica |
| momentum/məʊˈmentəm/ | momento |
| mean-square speed/miːn skweə spiːd/ | velocidad media al cuadrado |
| root-mean-square/ruːt miːn skweə/ | cuadrático medio |
| average translational kinetic energy/ˈævrɪdʒ trænˈsleɪʃənl kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | energía cinética traslacional media |
Pressure is a drum roll, not a push
- A balloon feels like it is being pushed steadily outwards. Nothing is pushing steadily. Molecules are striking the rubber at random, each blow lasting a fraction of a nanosecond.
- There are so many blows, so close together, that the average is perfectly smooth. Pressure is a drum roll heard from far enough away that the individual beats disappear.
- Taking that picture seriously, and applying nothing but Newton's laws to it, produces the gas laws from scratch and reveals what temperature actually is.
- This lesson is the assumptions of kinetic theory 分子动理论, the pressure derivation, r.m.s. speed and the meaning of temperature.
La presión es un redoble, no un empujón
- Un globo parece estar siendo empujado constantemente hacia afuera. Nada lo empuja de forma constante. Las moléculas golpean el caucho al azar, y cada impacto dura una fracción de nanosegundo.
- Hay tantos golpes, tan juntos entre sí, que el promedio es perfectamente suave. La presión es como un redoble escuchado desde lejos donde los golpeteos individuales desaparecen.
- Tomar esa imagen en serio y aplicar únicamente las leyes de Newton a ella, permite deducir las leyes de los gases desde cero y revelar qué es realmente la temperatura.
- Esta lección trata sobre los supuestos de la teoría cinética, la deducción de la presión, la velocidad eficaz (r.m.s.) y el significado de la temperatura.
The assumptions
- A large number of identical molecules in continuous random motion 无规则运动.
- The molecules' own volume is negligible compared with the volume of the gas.
- There are no forces between molecules except during collisions, so they travel in straight lines between them.
- Collisions are perfectly elastic 弹性, losing no kinetic energy, and the time of a collision is negligible compared with the time between collisions. Newton's laws apply throughout.
- These fail at very high pressure, where molecular volume matters, and at very low temperature, where intermolecular forces matter.
Los supuestos
- Un gran número de moléculas idénticas en movimiento aleatorio continuo.
- El volumen propio de las moléculas es despreciable en comparación con el volumen del gas.
- No hay fuerzas entre las moléculas excepto durante las colisiones, por lo que viajan en línea recta entre ellas.
- Las colisiones son perfectamente elásticas, sin pérdida de energía cinética, y el tiempo de una colisión es despreciable comparado con el tiempo entre colisiones. Las leyes de Newton se aplican en todo momento.
- Estos supuestos fallan a presiones muy altas, donde el volumen molecular importa, y a temperaturas muy bajas, donde las fuerzas intermoleculares importan.
Select all · todos the assumptions of the kinetic theory of an ideal gas. · Selecciona todas las suposiciones de la teoría cinética de un gas ideal.
Forces between molecules are ignored except during (elastic) collisions — they do not attract strongly at all times. · Las fuerzas entre moléculas se ignoran excepto durante (colisiones) elásticas; no se atraen fuertemente en todo momento.
Deriving the pressure
- Take a cube of side $L$ holding $N$ molecules of mass $m$, and follow one moving along $x$ with velocity $u_1$.
- One collision with the right wall reverses its velocity, so its momentum 动量 changes by $-2mu_1$ and, by Newton's third law, the wall receives $+2mu_1$.
- Between hits on that wall it travels $2L$, so $\Delta t = 2L/u_1$, giving an average force $F_1 = \Delta p/\Delta t = mu_1^2/L$.
- Summing over all molecules and dividing by the wall area $L^2$ gives $p = Nm\langle u_x^2\rangle / V$. In three dimensions, symmetry means $\langle u_x^2\rangle = \tfrac13\langle c^2\rangle$, so:
One molecule, one wall, then multiply up
Deduciendo la presión
- Considera un cubo de lado $L$ que contiene $N$ moléculas de masa $m$, y sigue a una moviéndose a lo largo del eje $x$ con velocidad $u_1$.
- Un choque con la pared derecha invierte su velocidad, por lo que su momento cambia en $-2mu_1$ y, por la tercera ley de Newton, la pared recibe $+2mu_1$.
- Entre impactos en esa pared recorre $2L$, así que $\Delta t = 2L/u_1$, lo que da una fuerza promedio $F_1 = \Delta p/\Delta t = mu_1^2/L$.
- Sumando para todas las moléculas y dividiendo por el área de la pared $L^2$, obtenemos $p = Nm\langle u_x^2\rangle / V$. En tres dimensiones, la simetría implica que $\langle u_x^2\rangle = \tfrac13\langle c^2\rangle$, por lo tanto:
Una molécula, una pared, luego multiplicar por el total
Boyle's law · Ley de Boyle
p ∝ 1/V
At constant temperature, pressure is inversely proportional to volume — squash the gas and the pressure rises. · A temperatura constante, la presión es inversamente proporcional al volumen: comprime el gas y la presión aumenta.
A gas exerts pressure on its container because the molecules: · Un gas ejerce presión sobre su recipiente porque las moléculas:
Each collision pushes on the wall; the combined effect of countless collisions is the pressure. · Cada choque empuja la pared; el efecto combinado de innumerables choques es la presión.
Worked example: explain the pressure in words
- Explain how molecular movement causes the pressure exerted by a gas. [3]
- The molecules move randomly and collide with the walls of the container.
- At each collision a molecule rebounds, so its momentum changes; by Newton's second law the wall exerts a force on it, and by the third law it exerts an equal and opposite force on the wall.
- There are very many collisions each second, so the individual impulses average to a steady total force, and pressure is that force divided by the area.
- Three sentences, three marks. The middle one must name both of Newton's laws to earn its mark.
Ejemplo resuelto: explicar la presión con palabras
- Explica cómo el movimiento molecular causa la presión ejercida por un gas. [3]
- Las moléculas se mueven aleatoriamente y chocan con las paredes del recipiente.
- En cada colisión, una molécula rebota, por lo que su momento cambia; según la segunda ley de Newton, la pared ejerce una fuerza sobre ella, y según la tercera ley, esta ejerce una fuerza igual y opuesta sobre la pared.
- Hay muchísimas colisiones por segundo, por lo que los impulsos individuales se promedian para dar una fuerza total constante, y la presión es esa fuerza dividida por el área.
- Tres oraciones, tres puntos. La oración central debe nombrar ambas leyes de Newton para obtener su punto.
Put the three-mark explanation of gas pressure in order. · Ordena la explicación de tres puntos sobre la presión del gas.
Random motion, momentum change with both of Newton's laws, the averaging over many collisions, then force per area. · Movimiento aleatorio, cambio de momento con ambas leyes de Newton, promedio sobre muchas colisiones, luego fuerza por unidad de área.
The density form
- $Nm$ is the total mass of the gas, so $Nm/V$ is its density $\rho$. The same result reads:
- Use this version whenever a question gives a density instead of $N$ and $m$, which it often does.
La forma en términos de densidad
- $Nm$ es la masa total del gas, así que $Nm/V$ es su densidad $\rho$. El mismo resultado se lee:
- Usa esta versión cuando una pregunta dé una densidad en lugar de $N$ y $m$, lo cual ocurre frecuentemente.
Root-mean-square speed
- $\langle c^2 \rangle$ is the mean-square speed 均方速率: square each molecule's speed, then average. Its square root is the root-mean-square 均方根 speed:
- It is a single useful measure of molecular speed, slightly larger than the mean speed because squaring weights the fast molecules more heavily.
- The molecules do not all move at this speed. They have a wide spread, and raising the temperature shifts the whole spread to higher speeds.
A distribution, of which the r.m.s. speed is one summary
Velocidad eficaz (r.m.s.)
- $\langle c^2 \rangle$ es la velocidad media cuadrática: eleva al cuadrado la velocidad de cada molécula y luego saca el promedio. Su raíz cuadrada es la velocidad eficaz (root-mean-square):
- Es una única medida útil de la velocidad molecular, ligeramente mayor que la velocidad media porque elevar al cuadrado pondera más a las moléculas rápidas.
- Las moléculas no se mueven todas a esa velocidad. Tienen una amplia distribución, y al aumentar la temperatura, toda la distribución se desplaza hacia velocidades mayores.
Una distribución, de la cual la velocidad eficaz es un resumen
The r.m.s. speed is the square root of the ____ speed. · La velocidad eficaz (r.m.s.) es la raíz cuadrada de la ____ velocidad.
Take the mean of the squared speeds, then square-root it: $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$. · Toma la media de las velocidades al cuadrado, luego extrae la raíz cuadrada: $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$.
How is the root-mean-square speed calculated from a set of molecular speeds? · ¿Cómo se calcula la velocidad eficaz a partir de un conjunto de velocidades moleculares?
Square, average, root, in that order. Squaring first weights the fast molecules more, which is why c_rms is slightly larger than the mean speed. · Eleva al cuadrado, promedia, raíz, en ese orden. Elevar al cuadrado primero pondera más a las moléculas rápidas, por eso c_rms es ligeramente mayor que la velocidad media.
Worked example: r.m.s. speed from a density
- An ideal gas at a pressure of $1.6 \times 10^5\ \text{Pa}$ has a density of $1.9\ \text{kg/m}^3$. Show that the r.m.s. speed of its molecules is about $500\ \text{m/s}$.
- From $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$: $\langle c^2 \rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^5}{1.9} = 2.53 \times 10^5\ \text{m}^2\text{/s}^2$.
- Then $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^5} = 503\ \text{m/s} \approx 500\ \text{m/s}$.
- In a "show that", carry an extra significant figure and quote it (503) before comparing with the value given. Rounding to 500 first proves nothing.
Ejemplo resuelto: velocidad eficaz a partir de la densidad
- Un gas ideal a una presión de $1.6 \times 10^5\ \text{Pa}$ tiene una densidad de $1.9\ \text{kg/m}^3$. Demuestra que la velocidad eficaz de sus moléculas es de aproximadamente $500\ \text{m/s}$.
- De $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$: $\langle c^2 \rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^5}{1.9} = 2.53 \times 10^5\ \text{m}^2\text{/s}^2$.
- Entonces $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^5} = 503\ \text{m/s} \approx 500\ \text{m/s}$.
- En un "demuestra que", lleva una cifra significativa extra y citarla (503) antes de comparar con el valor dado. Redondear a 500 primero no demuestra nada.
An ideal gas at 1.6 x 10^5 Pa has density 1.9 kg/m^3. What is the r.m.s. speed of its molecules, in m/s? · Un gas ideal a 1.6 x 10^5 Pa tiene densidad 1.9 kg/m^3. ¿Cuál es la velocidad eficaz de sus moléculas, en m/s?
Use p = rho <c^2>/3, so <c^2> = 3p/rho = 2.53e5 and c_rms = 503 m/s. In a 'show that' question, quote the extra figure before rounding. · Usa p = rho <c^2>/3, así <c^2> = 3p/rho = 2.53e5 y c_rms = 503 m/s. En una pregunta de 'demostrar', cita la cifra adicional antes de redondear.
What temperature actually is
- Two expressions for the same $pV$: $pV = NkT$ from the equation of state, and $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ from kinetic theory. Set them equal, cancel $N$ and multiply by $\tfrac32$:
- The left side is the average translational kinetic energy 平动动能 of one molecule. So temperature is a measure of average molecular kinetic energy, and nothing else.
- Two consequences the exam asks for. Double the absolute temperature and the average kinetic energy doubles, so $c_{\text{r.m.s.}}$ grows by $\sqrt{2}$. And at the same temperature, lighter molecules move faster, since $\tfrac12 m\langle c^2\rangle$ is the same for both.
Qué es realmente la temperatura
- Dos expresiones para el mismo $pV$: $pV = NkT$ de la ecuación de estado, y $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ de la teoría cinética. Igúalalas, cancela $N$ y multiplica por $\tfrac32$:
- El lado izquierdo es la energía cinética traslacional media de una molécula. Por lo tanto, la temperatura es una medida de la energía cinética molecular media, y nada más.
- Dos consecuencias que pide el examen. Duplica la temperatura absoluta y la energía cinética media se duplica, por lo que $c_{\text{r.m.s.}}$ aumenta en $\sqrt{2}$. Y a la misma temperatura, las moléculas más ligeras se mueven más rápido, ya que $\tfrac12 m\langle c^2\rangle$ es lo mismo para ambas.
The average translational kinetic energy of a gas molecule depends only on: · La energía cinética traslacional promedio de una molécula de gas depende únicamente de:
$\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — only the thermodynamic temperature matters. · $\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — solo importa la temperatura termodinámica.
If the absolute temperature doubles, the r.m.s. speed grows by a factor of: · Si la temperatura absoluta se duplica, la velocidad eficaz aumenta por un factor de:
$\langle c^{2}\rangle \propto T$, so $c_{\text{r.m.s.}} \propto \sqrt{T}$ — doubling $T$ multiplies it by $\sqrt{2} \approx 1.41$. · $\langle c^{2}\rangle \propto T$, así $c_{\text{r.m.s.}} \propto \sqrt{T}$ — al duplicar $T$, se multiplica por $\sqrt{2} \approx 1.41$.
At the same temperature, lighter molecules move faster on average than heavier ones. · A la misma temperatura, las moléculas más ligeras se mueven en promedio más rápido que las más pesadas.
Same average KE $\tfrac{3}{2}kT$, but smaller mass means a larger $\langle c^{2}\rangle$ — so lighter molecules are faster. · Misma energía cinética promedio $\tfrac{3}{2}kT$, pero menor masa implica un $\langle c^{2}\rangle$ mayor — así las moléculas más ligeras son más rápidas.
Comparing pV = NkT with pV = Nm<c^2>/3 shows that the average translational kinetic energy of a molecule equals ____ kT. · Al comparar pV = NkT con pV = Nm<c^2>/3, se observa que la energía cinética traslacional promedio de una molécula es igual a ____ kT.
So temperature is a direct measure of average molecular kinetic energy, and the internal energy of an ideal gas is (3/2)nRT. · Así la temperatura es una medida directa de la energía cinética molecular promedio, y la energía interna de un gas ideal es (3/2)nRT.
Internal energy of an ideal gas
- An ideal gas has no forces between molecules, so there is no molecular potential energy: its internal energy is entirely kinetic.
- Multiplying the average kinetic energy by the number of molecules:
- So the internal energy of an ideal gas depends only on its temperature, not on its pressure or volume. That single fact does most of the work in the next lesson.
Energía interna de un gas ideal
- Un gas ideal no tiene fuerzas entre moléculas, por lo que no hay energía potencial molecular: su energía interna es puramente cinética.
- Multiplicando la energía cinética media por el número de moléculas:
- Así que la energía interna de un gas ideal depende solo de su temperatura, no de su presión ni de su volumen. Ese único hecho hace gran parte del trabajo en la siguiente lección.
The internal energy of an ideal gas equals: · La energía interna de un gas ideal es igual a:
Ideal-gas molecules have only kinetic energy, so $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}nRT$ — proportional to $T$. · Las moléculas de gas ideal tienen solo energía cinética, así $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}nRT$ — proporcional a $T$.
Marks that slip away
- The r.m.s. speed is the square root of the mean of the squares, not the mean speed. Order matters: square, average, then root.
- Average kinetic energy depends on temperature alone. Two different gases at the same temperature have the same average molecular kinetic energy.
- $T$ doubling makes $c_{\text{r.m.s.}}$ grow by $\sqrt{2}$, not by 2. The energy is proportional to $T$, so the speed goes as $\sqrt{T}$.
- An "explain the pressure" answer needs the momentum change, both of Newton's laws, and the very many collisions per second.
Puntos que se pierden fácilmente
- La velocidad eficaz es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados, no la velocidad media. El orden importa: eleva al cuadrado, promedia, luego saca la raíz.
- La energía cinética media depende solo de la temperatura. Dos gases diferentes a la misma temperatura tienen la misma energía cinética molecular media.
- Si $T$ se duplica, $c_{\text{r.m.s.}}$ crece en $\sqrt{2}$, no en 2. La energía es proporcional a $T$, por lo que la velocidad varía como $\sqrt{T}$.
- Una respuesta de "explica la presión" necesita el cambio de momento, ambas leyes de Newton y las muchísimas colisiones por segundo.
You've got it
- assumptions: many identical molecules in random motion, negligible molecular volume, no forces except in collisions, elastic collisions of negligible duration, Newton's laws apply
- $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$, or $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ when a density is given; pressure is momentum change at the walls, averaged over very many collisions
- $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}$, one summary of a wide spread of speeds
- comparing with $pV = NkT$ gives $\tfrac12 m\langle c^2\rangle = \tfrac32 kT$: temperature is average molecular kinetic energy, so $U = \tfrac32 nRT$ depends on temperature alone
Lo has entendido
- supuestos: muchas moléculas idénticas en movimiento aleatorio, volumen molecular despreciable, sin fuerzas excepto en colisiones, colisiones elásticas de duración despreciable, se aplican las leyes de Newton
- $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$, o $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ cuando se da una densidad; la presión es el cambio de momento en las paredes, promediado sobre muchísimas colisiones
- $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}$, un resumen de una amplia distribución de velocidades
- al compararlo con $pV = NkT$ se obtiene $\tfrac12 m\langle c^2\rangle = \tfrac32 kT$: la temperatura es la energía cinética molecular media, por lo que $U = \tfrac32 nRT$ depende solo de la temperatura