الدوال الأسية واللوغاريتمات
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | الدالة الأسية |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | أُس |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | الأعداد اللوغاريتمية الطبيعية |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | الفائدة المركبة |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | التناقص الأسي |
التكرار الضربي يخلق نموذجاً
- الدالة الأسية مثل $y=a^x$ تكون فيها المتغير في الأس، مع $a>0$ و$a\ne1$.
- تنمو قيمها لـ $a>1$ وتتناقص لـ $0
النمو الأسي مقابل الخط المستقيم
$y = a^x$
العامل الثابت يتفوق دائمًا على المبلغ الثابت، بغض النظر عن مدى شدة الخط.
استخدم اللوغاريتم كعكس
- $\log_a y=x$ يعني $a^x=y$. اللوغاريزمات الحقيقية تحتاج إلى معامل موجب وقاعدة موجبة مختلفة عن 1.
- اللوغاريتمات الطبيعية تستخدم القاعدة e. المنحنى $y=\ln x$ يمر عبر $(1,0)$ وله تقارب رأسي $x=0$؛ منحنيات الدوال الأسية لها نقطة تقاطع y تساوي 1 وتقارب أفقي $y=0$.
ما قيمة log₁₀ 1000؟
يطلب الأس what power of 10 gives 1000، و10³ = 1000.
طبق القوانين ضمن مجالها فقط
- للأعداد m وn الموجبة ذات نفس القاعدة الصالحة، $\log(mn)=\log m+\log n$ و$\log(m/n)=\log m-\log n$.
- قانون القوى $\log(m^k)=k\log m$ يدخل الأس في حاصل الضرب. لا يوجد قانون نظير يقسم لوغاريتم المجموع.
أي قاعدة تسمح لك بحل مجهول موجود في الأس؟
قانون الأس ينزل k للأمام حيث يمكن إقصاؤها. الخيار الرابع ليس قاعدة أصلاً.
log(m + n) يساوي log m + log n.
قانون الجمع ينطبق على حاصل ضرب داخل اللوغاريتم، ولا ينطبق أبدًا على مجموع.
اذكر افتراضات الوقت والمالية
- الفائدة المركبة تستخدم $A=P(1+r)^n$ لمعدل معلوم لكل فترة وبدون تدفقات نقدية أخرى. المعدل r هو كسر، ليس الرقم المئوي.
- التناقص الأسي يستخدم عاملاً بين 0 و1. يمكن أن يختلف عتبة الزمن المستمر عن أول عينة كاملة للفترة المؤهلة؛ العمليات الحقيقية تحتاج إلى أدلة قبل اعتماد النموذج.
5000 تنمو بمعدل 4% سنويًا. بعد كم عدد من السنين السليمة تتجاوز 7000 لأول مرة؟
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58، والسنوات أعداد صحيحة، فالإجابة هي 9.
أي أساس يعطي تناقصًا أسيًا؟
الأساس بين 0 و1 يصغر القيمة في كل خطوة. الأساس 1 لا يغيرها أبدًا.
في جملة إنجليزية واحدة، اذكر متى تستخدم لوغاريتمًا لحل معادلة.
مثال: "آخذ اللوغاريتمات عندما يكون المجهول في الأس، لأن قاعدة القوى تنزله."
عتبة سنة كاملة. مع $A(n)=500(1.04)^n$، تعطي الشرط $A(n)>600$ $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. السنة الكاملة الأولى هي 5. تحقق من السنوات 4 و5 للتأكد من عدم المساواة الصارمة.
تحقق من مجال المعادلة والرسم البياني بشكل منفصل. في $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$، تحتاج المعادلة إلى $x>1$ ولها حل 6. الرسم البياني الأساسي المنفصل $y=\ln x$ مُعرف لـ $x>0$. تمارس الورقة 1.6 كلا المعادلات وميزات الرسم البياني.
نموذج التناقص الأسي الموجب يبقى فوق الصفر في كل وقت محدود. قد تعكس كمية فيزيائية تُقاس صفراً حدود الكشف أو فشل النموذج، بدلاً من الصفر الدقيق المتوقع بواسطة الصيغة.