تمثيل الدوال كمتسلسل قوى
| English | العربية |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | متسلسلة القوى |
إعادة استخدام المتسلسلات المعروفة لبناء متسلسلات جديدة
- لست مضطرًا لحساب كل متسلسلة تايلور من خلال المشتقات. عدّل المتسلسلات التي تعرفها.
- ابدأ من المتسلسلة الهندسية $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ أو متسلسلة $e^x,\sin,\cos$.
- أدخل تعويضات، اضرب، اشتق، أو تكامل لتمثيل دالة جديدة كـ متسلسلة قوى.
- إنه جبر على المتسلسلات — سريع وذكي.
التعويض والضرب
- أدخل تعويضًا بدلاً من $x$: استبدل $x$ بـ $-x^2$ في $\frac1{1-x}$ للحصول على $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- اضرب متسلسلة في قوة من $x$ أو ثابت: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- كل خطوة تحافظ على متسلسلة قوى صالحة (عدّل فترة التقارب للتعويضات).
- لا حاجة لمشتقات جديدة — فقط أدخل وجمع.
مبنية من المتسلسلة الهندسية
y = a / (1 − b·x)
التعويض بـ $-x^2$ في $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ يبني متسلسلة $\tfrac{1}{1+x^2}$ — دون الحاجة لمشتقات جديدة.
التعويض بـ $u=-x^2$ في $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ يعطي $\tfrac{1}{1+x^2}=$
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
أي العمليات تولد متسلسل قوى جديد من متسلسلات معروفة؟
التعويض، الضرب/التوسع، الاشتقاق، التكامل — وليس إعادة الترتيب العشوائي.
الاشتقاق والتكامل حدًا تلو الآخر
- داخل فترة التقارب الخاصة بها، يمكن اشتقاق أو تكامل متسلسلة القوى حدًا تلو الآخر.
- تكامل $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ للحصول على $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- اشتق متسلسلة للحصول على متسلسلة المشتقة.
- هذه الحركات تولد متسلسلات شهيرة (مثل $\arctan$ و$\ln(1+x)$) من متسلسلات أبسط.
ضمن مجال تقابرها، يمكن اشتقاق وتكامل متسلسلة القوى حداً تلو الآخر.
عملية صالحة داخل مجال التقارب.
تكامل $\sum(-1)^n x^{2n}$ حداً تلو الآخر يعطي متسلسلة لـ...
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
حقيبة أدوات قوية
- أدخل، قوّم، اضرب، اشتق، تكامل — خمس حركات، ومتسلسلات جديدة لا حصر لها.
- هذا غالبًا أسرع بكثير من حساب المشتقات العالية مباشرةً.
- تتبنى المتسلسلة الجديدة (تقريبًا) نصف قطر تقارب المتسلسلة التي بدأت منها.
- التعرف على الحركة المناسبة لتطبيقها هو المهارة الحقيقية.
تكامل متسلسلة قوى حداً تلو الآخر يقدم ثابت تكامل ____, يتم تحديده بقيمة معلومة.
مثلاً: $\arctan 0=0$ تحدد $C=0$.
التعويض بـ $x\to -x^2$ قد يغير مجال التقارب.
أعد اشتقاق مجال التقارب للمتغير الجديد.
الاشتقاق والتكامل حدًا تلو الآخر صالحان فقط ضمن فترة التقارب (والتكامل يضيف ثابت تكامل $+C$ — حدد قيمته باستخدام قيمة معروفة، مثل $\arctan 0=0$). عند التعويض (مثل $x\to -x^2$)، تتغير فترة التقارب أيضًا — أعد اشتقاقها بدلالة المتغير الجديد.
أوجد متسلسلة قوى لـ $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- ابدأ من $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ وأدخل $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (للدالة $|x|<1$).
لتمثيل دالة كـ متسلسلة قوى، عدّل متسلسلة معروفة: أدخل تعويضًا، اضرب/قّم، أو اشتق/تكامل حدًا تلو الآخر (صالح ضمن فترة التقارب؛ التكامل يضيف $+C$). مثال: التعويض في $\frac{1}{1-x}$ والتكامل يعطي متسلسلة $\frac{1}{1+x^2}$ و$\arctan x$.