نصف قطر ومجال تقارب متسلسلة القوى
| English | العربية |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | متسلسلة القوى |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | نصف قطر التقارب |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | فترة التقارب |
أين تكون متسلسلة القوى ذات معنى؟
- متسلسلة قوى هي كثير حدود لا نهائي: $\sum c_n(x-a)^n$ — مثل متسلسلة تايلور المتغير فيها $x$.
- تتقارب لبعض $x$ وتتباعد لغيرها. أي $x$؟
- الإجابة فترة مركزها $a$، تُقاس بـنصف قطر التقارب $R$.
- إيجاد $R$ والنقاط الطرفية الدقيقة هو الهدف.
نصف قطر التقارب
- متسلسلة قوى تتقارب لـ$|x-a|
- $R$ هو نصف القطر: المتسلسلة تتقارب ضمن مسافة $R$ من المركز $a$.
- ثلاثة احتمالات: $R=0$ (عند $a$ فقط)، $R=\infty$ (جميع $x$)، أو $R$ محدود.
- أوجد $R$ باستخدام اختبار النسبة على حدود المتسلسلة.
مجال التقارب
تتقارب متسلسلة القوى ضمن نصف قطر $R$ من مركزها — تمتد الفترة من $a-R$ إلى $a+R$، مع فحص الطرفتين بشكل منفصل.
تتقارب متسلسلة قوى $\sum c_n(x-a)^n$ من أجل...
ضمن نصف قطر $R$ من المركز $a$.
يمكن أن يكون نصف قطر التقارب $R$...
لا يمكن لنصف القطر أن يكون سالباً أبداً.
الحصول على R من اختبار النسبة
- طبق اختبار النسبة: ضع $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ وحل للحصول على $|x-a|$.
- هذه المتباينة تأخذ الشكل $|x-a|
- المركز هو $a$؛ تمتد الفترة من $a-R$ إلى $a+R$.
- اختبار النسبة يقوم بالعمل الشاق — الجبر يكتفي بعزل $|x-a|$.
بالنسبة لـ $\sum\tfrac{x^n}{n}$، يعطي اختبار النسبة $|x|<1$. ما هي قيمة $R$؟
$R=1$.
يُوجد نصف قطر التقارب عادة باستخدام...
يكشف اختبار النسبة للحدود عن $|x-a|
تحقق من نقاط النهاية بشكل منفصل
- اختبار النسبة غير حاسم عند نقاط النهاية $x=a\pm R$ (هنا $L=1$).
- لذا اختبر كل نقطة نهاية على حدة عن طريق تعويضها واستخدام اختبار متسلسلة آخر.
- قد تشمل فترة التقارب لا نقطة منهما، أو واحدة، أو كليهما.
- اكتب الفترة بالأقواس المفتوحة/المغلقة الصحيحة بعد التحقق من الطرفين.
اختبار النسبة غير حاسم عند الطرفتين، اللتين يجب فحصهما بشكل منفصل.
عند $x=a\pm R$، نحصل على $L=1$؛ استخدم اختباراً آخر.
بالنسبة لـ $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ تتباعد، $x=-1$ تتقارب. مجال التقارب هو...
شمل $-1$ (تتقارب)، استبعد $1$ (تتباعد).
يعطي اختبار النسبة نصف القطر لكنه غير حاسم عند نقاط النهاية — يجب أن تختبر $x=a-R$ و$x=a+R$ منفصلاً (قد يتقاربان أو يتفرقان بشكل مستقل). لا تفترض أن الفترة مفتوحة أو مغلقة؛ قد تكون الإجابة $[a-R,a+R)$، $(a-R,a+R]$، إلخ. تحقق من كلا الطرفين دائماً.
أوجد نصف قطر التقارب لفترة التقارب لـ$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- اختبار النسبة: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$، إذن $R=1$.
- نقاط النهاية: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (تتفرق)؛ $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (تتقارب).
- فترة التقارب: $[-1,1)$.
تتقارب متسلسلة قوى $\sum c_n(x-a)^n$ لـ$|x-a|