التكامل باستخدام التعويض
| English | العربية |
|---|---|
| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | تعويض u |
قاعدة السلسلة، مقلوبة
- قاعدة السلسلة جعلت اشتقاق الدوال المركبة. التكامل يجب أن يعكس ذلك.
- التعويض بـ u (أو u-sub) هو عكس قاعدة السلسلة.
- يكتشف دالة مركبة مع مشتقها الداخلي ويُبسط عن طريق إعادة التسمية.
- أتقنها وستصبح فئة كبيرة من التكاملات التي كانت مستحيلة سابقًا روتينية.
التعويض بـ u هو عكس أي قاعدة اشتقاق؟
إنها تلغي قاعدة السلسلة.
أعد تسمية الدالة الداخلية بـ $u$
- ابحث عن دالة داخلية $g(x)$ يكون مشتقها $g'(x)$ موجودًا أيضًا (بضرب ثابت) في الكائن التكامل.
- ليكن $u=g(x)$؛ إذن $du=g'(x)\,dx$.
- أعد كتابة التكامل بأكمله بدلالة $u$ — سيتحول التعبير المعقد لـ $x$ إلى تكامل $u$ بسيط.
- بعد ذلك أكمل التكامل بدلالة $u$ وأعد التعويض بـ $u=g(x)$ في النهاية.
تركيب جاهز للتعويض بـ u
y = ax³ + bx
مدخل تكامل مثل $2x(x^2+1)^3$ يخفي دالة داخلية ومشتقتها — وهو إشارة للتعويض.
لـ $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$، خيار جيد هو $u=$
يحتوي $u=x^2+1$ على $du=2x\,dx$، وهو موجود.
مثال نظيف لنمط التعويض
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. الدالة الداخلية $u=x^2+1$، لذا $du=2x\,dx$.
- $2x\,dx$ في التكامل هو بالضبط $du$ — تطابق مثالي.
- يصبح التكامل $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- أعد التعويض: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
يُساوي $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$...
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$، ثم أعد التعويض العكسي.
تعامل مع الثابت، أو الحدود
- إذا كان $du$ مختلفًا بمعامل ثابت، اضرب أو قسّم لإصلاحه (مثلاً $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- بالنسبة للتكامل المحدد، إما أعد التعويض لـ $x$ قبل التقييم، أو غيّر الحدود إلى قيم $u$.
- تغيير الحدود أنظف: حول $a,b$ إلى $u(a),u(b)$ ولا تعود أبدًا إلى $x$.
- always end an indefinite answer in terms of the original variable $x$.
قيّم $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (ليكن $u=x^3+1$). أدخل قيمة عشرية.
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
التعويض u الصحيح يحول $dx$ كليًا إلى $du$، دون بقايا $x$.
بقاء $x$ أو $dx$ هو الخطأ الكلاسيكي.
يعمل تعويض u عندما يحتوي الدالة المكاملة على...
يجب أن تكون المشتقة الداخلية $g'(x)$ موجودة (مضروبة في ثابت).
يعمل التعويض بـ u فقط عندما يكون المشتق الداخلي موجودًا (بضرب ثابت). إذا لم يكن $g'(x)$ موجودًا، لا يمكنك اختلاقه. ولا تنسَ تحويل $dx$ إلى $du$ — ترك $dx$ عشوائي أو $x$ متبقٍ هو الخطأ الكلاسيكي. بالنسبة للتكاملات المحددة، غيّر الحدود أو أعد التعويض، وليس مزيجًا منهما.
قيّم $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- ليكن $u=x^3+1$، إذن $du=3x^2\,dx$. الحدود: $x=0\Rightarrow u=1$، $x=1\Rightarrow u=2$.
- يصبح التكامل $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
التعويض بـ u يعكس قاعدة السلسلة: ضع $u=g(x)$ (الدالة الداخلية)، استبدل $g'(x)\,dx$ بـ $du$، أكمل التكامل بدلالة $u$، ثم أعد التعويض (أو غيّر الحدود للتكامل المحدد). يعمل عندما يظهر المشتق الداخلي بضرب ثابت. حول $dx\to du$ دائمًا بشكل كامل.