تطبيق قاعدة القوة
| English | العربية |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | قدرة |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | قاعدة القوة |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | integer |
اختصار يحل محل النهاية
- حساب كل مشتقة باستخدام تعريف النهايات عملية بطيئة. هناك نمط.
- بالنسبة لقوى $x$، قاعدة واحدة تقوم بذلك فوراً: قاعدة القوة.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "انزل الأس كعامل مضروب، ثم اطرح واحداً من الأس."
قوة وميل المماس الخاص بها
y = x²
بالنسبة لـ $y=x^2$ تعطي قاعدة القوة ميل $2x$ — حرك النقطة وتحقق من أن ميل المماس يطابق $2x$.
شاهد كيف تعمل
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — ينخفض $3$ أمام، والأس يذهب $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — مشتقة $x$ هي $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- يتطابق مع تعريف النهاية (وجدنا $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) لكنه يأخذ سطرًا واحداً فقط.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[x^5]$؟
انزل $5$، قلل الأس: $5x^{5-1}=5x^4$.
إذا كان $f(x)=x^4$، فأوجد $f'(2)$.
$f'(x)=4x^3$، إذن $f'(2)=4\cdot8=32$.
تعمل لأي أس
- يمكن أن يكون $n$ أساً سالبياً أو كسرياً (نسبياً)، وليس مجرد عدد صحيح موجب.
- سالب: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- نسبي: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- نفس القاعدة دائماً — أنزل $n$، وقلل الأس بمقدار واحد.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. الأس $\square$ هو ____.
قلل $-2$ بمقدار واحد: $-2-1=-3$.
قاعدة القوة اشتق أيًا من هذه مباشرة (بعد إعادة الكتابة)؟
كلها قوى لـ $x$ بعد إعادة الكتابة؛ $5^x$ دالة أسية، وليست قوة لـ $x$.
أعد الكتابة أولاً، ثم اشتق
- الجذور والمقلوبات تخفي القوى — أعد كتابتها على شكل $x^n$ قبل تطبيق القاعدة.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$، وبالتالي $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$، وبالتالي $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- تحويل كل حد إلى قوة هو الخطوة الأساسية للإعداد.
أعد الكتابة واشتق: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ يساوي...
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
قاعدة القوة تنطبق على $2^x$، مما يعطي $x\cdot 2^{x-1}$.
قاعدة القوة تحتاج أساس متغير بأس ثابت؛ $2^x$ دالة أسية (الدرس التالي).
قاعدة القوة مخصصة لـ أساس متغير بأس ثابت ($x^n$). ولا تنطبق على أساس ثابت بأس متغير — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (هذا دالة أسية، يتم التعامل معها في الدرس التالي). ولا تنسَ تقليل الأس: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$، وليس $-2x^{-2}$.
اشتق $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- أعد الكتابة على شكل قوى: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- تطبيق قاعدة القوة حداً بحد: $\tfrac23 x^{-1/3}$ و$-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
قاعدة القوة $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ تعمل لـ أي أس ثابت — عدد صحيح، سالب، أو نسبي. أعد كتابة الجذور والمقلوبات على شكل قوى أولاً، ثم أنزل الأس وقلله بمقدار واحد. تحل محل تعريف النهايات للدوال القوية.