تحديد النهايات باستخدام نظرية الحصر
| English | العربية |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | مبرهنة الضيق |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | عدم المساواة |
احتجز دالة فوضوية بين دالتين منتظمتين
- بعض النهايات تقاوم التعويض والجبر — مثل $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$، التي تتذبذب بسرعة لا نهائية.
- الهروب: أسر الدالة الفوضوية بين دالتين صديقتين.
- إذا كان الجداران العلوي والسفلي كلاهما يتجهان نحو نفس الارتفاع، فللدالة المسروقة لا مكان آخر تذهب إليه.
- هذا هو مبرهنة الضغط (تُعرف أيضًا باسم مبرهنة الشطيرة).
حصر دالة بين دالتين أخريات بنهايات متساوية يستخدم نظرية ____.
تُعرف أيضاً بنظرية الساندويتش.
ما تقوله المبرهنة
- افترض أنه بالقرب من $c$ (باستثناء ربما عند $c$ نفسها) لدينا $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- إذا $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$، فإن $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ أيضًا.
- تقوم الحدين بـضغط $f$ على القيمة الواحدة $L$.
- تحتاج إلى شيئين: متباينة صالحة靠近 $c$، وحدود متساوية للحدود.
لتطبيق نظرية الحصر على $f$ بالقرب من $c$، تحتاج إلى جميع ما يلي...
أنت بحاجة إلى حدود من جانبيها بنهايات متساوية، صالحة بالقرب من $c$. لا يشترط أن تكون $f$ كثيرة حدود — وهذا هو جوهر المسألة.
التذبذب الكلاسيكي
- $\sin\tfrac1x$ يتأرجح بين $-1$ و$1$ إلى ما لا نهاية مع $x\to0$ — وليس له حد بحد ذاته.
- ولكن اضرب في $x^2$: بما أن $-1\le\sin\tfrac1x\le1$، نحصل على $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- كلا الجدارين $\pm x^2 \to 0$ عندما $x\to0$.
- مضغوطًا بينهما، $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
جدار الحصر $y=x^2$
y = ax²
القطع المكافئ $y=x^2$ ومرآته $-x^2$ تضيقان كلاهما نحو $0$ عند نقطة الأصل — أي شيء محاصر بينهما يُجبر على $0$.
باستخدام $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$، أوجد $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$.
كلا الجدران $\pm x^2\to 0$، إذن الدالة المحصورة $\to 0$.
التحقق من الإعداد بصدق
- يجب أن تنطبق المتباينة فقط قريبًا من $c$، وليس في كل مكان — مجال صغير حول $c$ يكفي.
- يجب أن تكون حدود الحدود متساوية؛ إذا كان الجدران تتجه نحو ارتفاعات مختلفة، فلا تقول المبرهنة شيئًا.
- الضغط هو المسار القياسي للوصول إلى الشهير $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$، من خلال الحدود الهندسية $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- قم دائمًا بتسمية دالتي الحد بشكل صريح — هذا هو جوهر البرهان.
حصر $f$ من الأعلى فقط باستخدام $f(x)\le h(x)$ يكفي لتطبيق نظرية الشد (Squeeze Theorem).
أنت بحاجة إلى حدود على كلا الجانبين بنهايات متساوية — حد واحد لا يثبت شيئاً.
نظرية الحصر، مع $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$، تعطي $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$
مع اقتراب $x\to0$، $\cos x\to1$ والحد العلوي هو $1$، لذا يُحصر الوسط إلى $1$.
إذا كان الحد الأدنى يتجه نحو $2$ والحد العلوي يتجه نحو $5$، تخبرك نظرية الحصر أن النهاية المحصورة هي...
يجب أن يكون للحدود نهايات متساوية؛ جدران غير متساوية لا تعطي أي استنتاج.
تحتاج متراجحة الإحباط (Squeeze Theorem) إلى حدود تحيط من كلا الجانبين بحدود متساوية. إذا قمت بتقييد $f$ من الأعلى فقط ($f\le h$)، أو اتجهت الحدود المتباينة إلى قيم مختلفة، فلن تثبت شيئًا. كما يجب أن تكون المتراجحة صالحة فعليًا بالقرب من $c$ — تحقق منها ولا تفترضها.
أثبت $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- لكل $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- اضرب في $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ و$\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- من الرسم البياني: تتبع الجانبين نحو $0$ واقرأ الارتفاع المشترك.
متراجحة الإحباط: إذا كانت $g\le f\le h$靠近 $c$ و$\lim g=\lim h=L$، فإن $\lim f=L$. استخدمها عندما تتذبذب دالة أو تعارض الطرق المباشرة الأخرى — قيدّها من الأعلى والأسفل بدوال ذات حدود متساوية، تحقق من المتراجحة靠近 $c$، وسيكون $f$ مقيدًا نحو $L$.