تحديد النهايات باستخدام التلاعب الجبري
| English | العربية |
|---|---|
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | مكافئة |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | الجدلة |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | مرافق |
$\tfrac00$ باب مغلق — الجبر هو المفتاح
- أعطاك التعويض المباشر $\dfrac00$. لا تستسلم — أعد كتابة الدالة أولاً.
- الحيل: إيجاد تعبير مكافئ يتفق مع الأصلي في كل مكان باستثناء النقطة المزعجة.
- بما أن الحد يتجاهل النقطة المفردة $x=c$، فإن الدالة المعاد كتابتها لها نفس الحد.
- ثلاث أدوات تقوم بمعظم العمل: التحليل، إنطاق الجذر، ودمج الكسور.
يحلل التلاعب الجبري الدالة بدالة ____ تتفق معها في كل مكان باستثناء النقطة المحذوفة.
نفس القيم خارج الثقب تعني نفس النهاية.
الأداة 1 — التحليل والإلغاء
- وجود $\tfrac00$ في دالة كسرية يعني أن $(x-c)$ يقسم كلاً من البسط والمقام.
- استخدم التحليل على كل منهما، ألغِ العامل المشترك $(x-c)$، ثم عوض.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- الشكل المُلغى مطابق للأصلي لكل $x\neq 3$ — تماماً حيث يوجد الحد.
المنحنى أملس باستثناء الثقب
y = x + 3 (من إلغاء (x−3))
بعد التحليل والإلغاء، يصبح الرسم البياني منحنياً عادياً بنقطة مفقودة واحدة — تُقرأ النهاية من تلك الفجوة.
قيّم $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$.
حلل: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$.
الأداة 2 — إنطاق الجذر
- عندما يسبب الجذر التربيعي ظهور $\tfrac00$، اضرب البسط والمقام في المرافق.
- هذا يزيل الجذر ويكشف عن عامل قابل للإلغاء.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
أفضل طريقة للتعامل مع النهاية $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ هي...
الجذر الذي يسبب $\tfrac00$ يستدعي استخدام المرافق؛ هنا النهاية هي $\tfrac16$.
قيّم $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$.
أنطق لتصل إلى $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$.
الأداة 3 — دمج الكسور
- فرق الكسور مثل $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ مقسوماً على $x$ يخفي عاملاً بمجرد استخدام مقام مشترك.
- ادمجها في كسر واحد، بسّطها، وسيُلغى $(x-c)$.
- بعد أي من هذه الخطوات، اكمل بـ التعويض المباشر — الباب مفتوح الآن.
- أياً كانت الأداة التي تستخدمها، فأنت تنتج دالة مكافئة تسمح بنجاح التعويض.
حدد جميع الأدوات الجبرية التي يمكنها حل نهاية $\tfrac00$.
الأول ثلاثة إعادة كتابة مشروعة؛ التقريب ليس تقنية صالحة.
إلغاء $(x-c)$ يغير الدالة في نقطة واحدة بالضبط: التعبير المعاد كتابته مُعرّف عند $c$ بينما الأصل يحتوي على ثقب هناك. هذا مقبول بالنسبة للـ حد (الذي لا ينظر أبداً إلى $x=c$)، لكن لا تدعي أن الدالتين متطابقتان — فهما تختلفان عند النقطة المحذوفة.
بعد إلغاء $(x-3)$، تكون الدالة المبسمة مطابقة تماماً للأصلية في كل نقطة بما في ذلك $x=3$.
يتفقان في كل مكان باستثناء $x=3$، حيث يوجد ثقب في الدالة الأصلية. النهاية لا تتأثر، لكن الدالتين تختلفان هناك.
أوجد $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$.
- التعويض يعطي $\tfrac00$ — حلل كلاهما.
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ لـ $x\neq -1$.
- عوض: $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
عندما يعطي التعويض $\tfrac00$، أعد كتابة الدالة إلى شكل مكافئ يتفق معها في كل مكان باستثناء $c$: حلل وألغِ، إنطق باستخدام مرافق، أو دمج الكسور. ثم عوض. إعادة الكتابة لها نفس الحد لأن الحد يتجاهل النقطة المفردة المحذوفة.