التكامل (نقي 3)
| English | العربية |
|---|---|
| standard integral/ˈstændəd ˈɪntɪɡrəl/ | تكامل قياسي |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | البسط |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | المقام |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | الكسور الجزئية |
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | التكامل بالتجزئة |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | التكامل بالتعويض |
| change of variable/tʃeɪndʒ ɒv ˈveərɪəbl/ | تغيير المتغير |
التكامل الذي يمنحك الزوايا
- يمكنك تكامل $\dfrac{1}{x^2+1}$ للحصول على $\tan^{-1}x$ — وهي دالة تُعيد الزوايا.
- هذا الارتباط بين الجبر والهندسة هو واحد من أجمل نتائج التفاضل والتكامل.
تكاملات قياسية جديدة
- تكامل قياسي جديد: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- النمط $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ → $k\ln|f(x)| + C$، مثلاً $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$.
مثال محلول. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$ (هنا $a = 2$).
لاحظ النمط. $\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$. البسط يجب أن يكون (مضاعفاً لـ) مشتقة المقام. إذا لم يكن كذلك، فأنت بحاجة لطريقة مختلفة.
المكان الهندسي |z - a| = r هو دائرة نصف قطرها r ومركزها a
المساحة تحت المنحنى
المساحة = ∫ f(x) dx
كل طريقة تكامل تقيس هذه المساحة — اسحب الحدود لتجميعها.
ما هو ∫ 2x/(x²+1) dx؟
البسط هو مشتقة المقام (على شكل k f′/f)، لذا التكامل هو ln(x²+1) + C.
∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C.
هذا تكامل قياسي لنقي 3 مرتبط بمشتقة الدالة العكسية للتانجس.
∫ 1/(x²+9) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C. ما قيمة a؟
a² = 9، إذن a = 3.
∫ 1/(x²+1) dx = ln(x²+1) + C.
البسط ليس مشتقة المقام. التكامل الصحيح هو tan⁻¹x + C.
الكسور الجزئية للتكامل
- الكسور الجزئية: فكك كسراً جبرياً، ثم تكامل كل جزء كدالة لوغاريتمية.
- مثال: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \int\left(\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C$.
التكامل بالتجزئة
- التكامل بالتجزئة (لضرب): $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- اختر $u$ ليكون الجزء الذي يتبسط عند اشتقاقه.
صيغة التكامل بالتجزئة هي ∫ u dv =:
التكامل بالتجزئة: ∫ u dv = uv − ∫ v du.
التكامل بالتعويض
- التكامل بالتعويض: تغيير المتحول يحول تكاملاً صعباً إلى سهل.
- ليكن $u = g(x)$، إذن $du = g'(x)\,dx$، وأعد كتابة التكامل بدلالة $u$.
allow_no_figure: تقنيات التكامل (بالتجزئة، التعويض، الكسور الجزئية) — المحتوى المرئي هو التعديل الجبري، وليس مخططاً.
- التكامل هو اشتقاق عكسي.
باستخدام التعويض u = x²+1، قيّم ∫₀² 2x/(x²+1) dx (2 dp).
∫₀² 2x/(x²+1) dx = [ln(x²+1)]₀² = ln 5 − ln 1 = ln 5 ≈ 1.61.
لقد فهمت الأمر
- $\displaystyle\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$; $\displaystyle\int\frac{k f'(x)}{f(x)}dx = k\ln|f(x)| + C$
- بالتجزئة: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ (للضرب)
- بالتعويض: غيّر المتحول للتبسيط