الجبر (نقي 3)
| English | العربية |
|---|---|
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | الكسور الجزئية |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | دالة نسبية |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | التحليل |
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | عامل مكرر |
| irreducible quadratic/ɪrɪˈdjuːsɪbl kwɒˈdrætɪk/ | مربع غير قابل للاختزال |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | توسع ذات الحدين |
تقسيم غير القابل للتقسيم
- لا يمكنك تكامل $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ مباشرة. لكن قسمها إلى $\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$ وكل جزء هو لوغاريتم بسيط.
- الكسور الجزئية تحول الدوال الكسرية الصعبة إلى أجزاء سهلة — ضروري للتكامل وتوسيع المتسلسلات.
الكسور الجزئية
- كسر له مقام مفكوك ينقسم إلى كسب أبسط:
- هذا يجعل الدالة الكسرية سهلة التكامل أو التوسيع.
مثال محلول. $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$. اضرب عبر: $x+4 = A(x-2) + B(x+1)$. ضع $x = -1$: $3 = -3A \Rightarrow A = -1$. ضع $x = 2$: $6 = 3B \Rightarrow B = 2$. النتيجة: $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$.
الضرب القياسي يقيس مقدار توجه b على طول a: |b| cos theta
منحنيات المقلوب
y = a/(x − b) + c
الكسور الجزئية تقسم كسراً صعباً إلى أجزاء بسيطة مقلوبة — كل جزء له خط مقارب رأسي و خط مقارب أفقي.
كتابة (x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2)، عوض x = 2 لإيجاد B.
عند x = 2: 2 + 4 = B(2 + 1)، إذن 6 = 3B، مما يعطي B = 2.
الكسور الجزئية تجعل دالة نسبية أسهل في التكامل.
كل كسر بسيط يتكامل إلى لوغاريتم، لذا يجعل التقسيم الأول التكامل سهلاً.
العوامل المكررة والمربعة
- عامل مكرر $(cx+d)^2$: يحتاج $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$.
- مقدار تربيعي غير قابل للاختزال $(x^2 + a^2)$: يتطلب $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$.
لا تنسَ حد العامل المكرر. $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. نسيان حد $\dfrac{C}{(x+1)^2}$ خطأ شائع.
شخصية عطلة
بالنسبة لـ 1/(x(x+1)²)، يشمل شكل الكسور الجزئية:
عامل مكرر (x+1)² يحتاج حدّين هما B/(x+1) و C/(x+1)².
توسيع ذات الحدين للأسس الكسرية
- يعمل لأسس كسرية/سالبة $n$ عندما $|x| < 1$:
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
توسيع ذات الحدين (1+x)ⁿ للأس الكسري أو السلبي صالح فقط عندما:
بالنسبة لأسس غير صحيحة موجبة، تتقارب المتسلسلة فقط عندما |x| < 1.
في توسيع (1+x)^(1/2)، معامل x² هو n(n-1)/2! حيث n=1/2. أوجد هذا المعامل.
(1/2)(1/2 - 1)/2 = (1/2)(-1/2)/2 = -1/8 = -0.125.
مثال محلول — التكامل بالكسور الجزئية
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: تقنية جبرية (تفكيك الكسور الجزئية) — المحتوى المرئي هو العمليات الجبرية نفسها، وليس مخططاً.
- استخدم نظرية التحليل و نظرية الباقي: قسمة كثير حدود تعطي خارج وقسمة باقي.
∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C. عند x = 3، ما قيمة 2 ln|x-2| (إلى 2 خانات عشرية)؟
2 ln|3-2| = 2 ln(1) = 2 × 0 = 0.
لقد فهمت الأمر
- الكسور الجزئية تقسم دالة كسرية للتكامل/التوسيع
- طابق الصورة مع المقام (عامل مكرر ← حد额外 $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$)
- ذات الحدين تعمل لأسس كسرية $n$ عندما $|x| < 1$